Найти вероятность того, что среди выбранных 3 учебников хотя бы один будет в твёрдой обложке

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей

Дано:

• Всего учебников: 15
• Учебников в твёрдой обложке: 5
• Учебников без твёрдой обложки: 15 - 5 = 10
• Выбирается наугад 3 учебника

Нужно найти вероятность того, что среди выбранных 3 учебников хотя бы один будет в твёрдой обложке.

Решение:

Обозначим событие A — "хотя бы один учебник в твёрдой обложке среди выбранных 3".

Тогда событие противоположное A' — "ни одного учебника в твёрдой обложке среди выбранных 3", то есть все 3 учебника выбраны из 10 учебников без твёрдой обложки.

Найдем вероятность P(A'), а затем найдем искомую вероятность по формуле:

 P(A) = 1 - P(A') 

Количество способов выбрать 3 учебника из 15:

 C_{15}^3 = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = 455 

Количество способов выбрать 3 учебника без твёрдой обложки из 10:

 C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120 

Вероятность события A':

 P(A') = \frac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \frac{120}{455} = \frac{24}{91} 

Искомая вероятность:

 P(A) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{91 - 24}{91} = \frac{67}{91} \approx 0.736 

Ответ:

Вероятность того, что хотя бы один из выбранных 3 учебников будет в твёрдой обложке, равна \frac{67}{91} или примерно 0.736 (73.6%).