Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности

Рассмотрим задачу. У нас есть 12 студентов, из которых 8 – отличники. Мы случайным образом выбираем 9 студентов и хотим найти вероятность того, что среди них ровно 5 отличников.

Шаг 1: Общее число способов выбрать 9 студентов из 12

Общее число способов выбрать 9 студентов из 12 вычисляется по формуле числа сочетаний:

 C_{12}^{9} = \frac{12!}{9!(12-9)!} = \frac{12!}{9!3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 

Шаг 2: Число способов выбрать 5 отличников из 8

Число способов выбрать 5 отличников из 8:

 C_{8}^{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 

Шаг 3: Число способов выбрать 4 неотличника из 4

Число способов выбрать 4 неотличника из оставшихся 4 студентов (не отличников):

 C_{4}^{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1 

Шаг 4: Число благоприятных исходов

Число способов выбрать 5 отличников и 4 неотличников:

 C_{8}^{5} \times C_{4}^{4} = 56 \times 1 = 56 

Шаг 5: Вычисление вероятности

По классической формуле вероятности:

 P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{56}{220} 

Упрощаем дробь:

 P = \frac{28}{110} = \frac{14}{55} \approx 0.2545 

Ответ:

Искомая вероятность составляет \frac{14}{55} или примерно 0.2545 (25.45%).