Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек, то есть 0, 1 или 2 девочки

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схема Бернулли, биномиальное распределение

Условие задачи:

Дано:

• Вероятность рождения мальчика: p = 0{,}515
• Вероятность рождения девочки: q = 0{,}485
• В семье 4 ребёнка: n = 4
• Требуется найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек, то есть 0, 1 или 2 девочки.

Решение:

Пусть случайная величина X — число девочек среди 4 детей.
Тогда X подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 4 и q = 0{,}485.

Ищем: P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Формула биномиального распределения: P(X = k) = C_n^k \cdot q^k \cdot p^{n-k}

Где:

• C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} — биномиальные коэффициенты
• q = 0{,}485 — вероятность рождения девочки
• p = 0{,}515 — вероятность рождения мальчика

Вычислим по формуле:

1. P(X = 0) (все мальчики):  P_0 = C_4^0 \cdot (0{,}485)^0 \cdot (0{,}515)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}515)^4 \approx 0{,}0703 

2. P(X = 1) (одна девочка):  P_1 = C_4^1 \cdot (0{,}485)^1 \cdot (0{,}515)^3 = 4 \cdot 0{,}485 \cdot (0{,}515)^3 \approx 4 \cdot 0{,}485 \cdot 0{,}1365 \approx 0{,}2651 

3. P(X = 2) (две девочки):  P_2 = C_4^2 \cdot (0{,}485)^2 \cdot (0{,}515)^2 = 6 \cdot (0{,}485)^2 \cdot (0{,}515)^2 \approx 6 \cdot 0{,}2352 \cdot 0{,}2652 \approx 0{,}3742 

Суммируем:

 P(X \leq 2) = P_0 + P_1 + P_2 \approx 0{,}0703 + 0{,}2651 + 0{,}3742 = 0{,}7096 

Ответ:

\boxed{0{,}7096} — вероятность того, что среди четырёх детей не больше двух девочек.