Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы два шара одного цвета

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, дискретные распределения, геометрическое распределение

Задача 3:

В урне 2 белых, 3 чёрных и 5 красных шаров. Наугад вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы два шара одного цвета.

Шаг 1: Понять условие

Всего в урне:

• 2 белых
• 3 чёрных
• 5 красных

Итого:
[2 + 3 + 5 = 10] шаров.

Из них случайным образом выбирают 3 шара. Нужно найти вероятность того, что среди них будет хотя бы два шара одного цвета.

Шаг 2: Используем метод дополнения

Проще всего найти вероятность противоположного события: что все три шара разного цвета, а затем вычесть её из 1.

Обозначим:

• [A] — событие: "среди трёх шаров хотя бы два одного цвета"
• [\overline{A}] — событие: "все три шара разного цвета"

Тогда:  [P(A) = 1 - P(\overline{A})] 

Шаг 3: Найдём [P(\overline{A})] — вероятность того, что все три шара разного цвета

Чтобы шары были разного цвета, нужно взять по одному шару каждого цвета: 1 белый, 1 чёрный, 1 красный.

Число благоприятных исходов:

• Способов выбрать 1 белый из 2: [C_2^1 = 2]
• Способов выбрать 1 чёрный из 3: [C_3^1 = 3]
• Способов выбрать 1 красный из 5: [C_5^1 = 5]

Общее число благоприятных исходов: [2 \cdot 3 \cdot 5 = 30]

Общее число всех возможных троек шаров из 10: [C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120]

Тогда:  [P(\overline{A}) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}] 

Шаг 4: Найдём искомую вероятность

 [P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}] 

Ответ:

\boxed{\frac{3}{4}} — вероятность того, что среди трёх вынутых шаров хотя бы два одного цвета.