Найти вероятность того, что среди 900 зёрен прорастёт от 600 до 640 штук

Данное задание относится к математической статистике, разделу теории вероятностей.

Шаг 1. Определение исходных данных:

• Всхожесть зёрен: \( p = 0.9 \) (это вероятность того, что одно зерно прорастёт),
• Общее количество зёрен в выборке: \( n = 900 \),
• Нас интересует, чтобы количество проросших зёрен было в диапазоне от 600 до 640.

Нужно найти вероятность того, что среди 900 зёрен прорастёт от 600 до 640 штук. Для этого воспользуемся формулой нормального приближения биноминального распределения.

Шаг 2. Применение нормального приближения к биноминальному распределению:

При \( n \) достаточно большом (что у нас и есть, \( n = 900 \)), распределение числа прорастающих зёрен можно приближённо считать нормальным.

• Математическое ожидание (среднее) для биномиального распределения: \[ \mu = n \cdot p = 900 \cdot 0.9 = 810. \]
• Дисперсия распределения: \[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 900 \cdot 0.9 \cdot (1 - 0.9) = 900 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 81. \]
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{81} = 9. \]

Шаг 3. Приведение к стандартной нормальной величине:

Для применения нормального приближения вводим стандартную нормальную переменную \( Z \), которая выражается как: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma}. \]

Нам нужно найти вероятность, что число проросших зёрен \( X \) будет в диапазоне от 600 до 640. Преобразуем эти значения при помощи стандартной нормальной переменной \( Z \).

• Для \( X = 600 \): \[ Z_1 = \frac{600 - 810}{9} = \frac{-210}{9} = -23.33. \]
• Для \( X = 640 \): \[ Z_2 = \frac{640 - 810}{9} = \frac{-170}{9} = -18.89. \]

Шаг 4. Поиск вероятности.

Очевидно, что значения \( Z_1 \) и \( Z_2 \) сильно выходят за пределы стандартной нормальной таблицы, поскольку они очень малы (сильно отрицательны). Это означает, что вероятность того, что проросло от 600 до 640 зёрен, фактически очень близка к нулю. Таким образом, можно заключить, что вероятность того, что среди 900 зёрен прорастет от 600 до 640 штук, практически равна нулю.