Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схема Бернулли, приближение нормальным распределением (локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа)

Задание:

Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна [p = 0{,}2]. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Шаг 1: Определим параметры задачи

• Общее число испытаний: n = 400
• Вероятность брака: p = 0{,}2
• Тогда вероятность годной детали: q = 1 - p = 0{,}8
• Нас интересует вероятность того, что число бракованных деталей k лежит в интервале: 70 \leq k \leq 100

Шаг 2: Используем интегральную теорему Муавра — Лапласа

Для больших n можно использовать приближение нормальным распределением:

 P(a \leq k \leq b) \approx \Phi\left(\frac{b + 0.5 - np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{a - 0.5 - np}{\sqrt{npq}}\right) 

Где:

• \Phi(z) — функция стандартного нормального распределения,
• np = 400 \cdot 0.2 = 80
• npq = 400 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 64
• \sqrt{npq} = \sqrt{64} = 8

Подставим:

• a = 70, b = 100

Тогда:  P(70 \leq k \leq 100) \approx \Phi\left(\frac{100 + 0.5 - 80}{8}\right) - \Phi\left(\frac{70 - 0.5 - 80}{8}\right) = \Phi\left(\frac{20.5}{8}\right) - \Phi\left(\frac{-10.5}{8}\right) = \Phi(2.5625) - \Phi(-1.3125) 

Шаг 3: Найдём значения функции Лапласа

По таблице значений функции Лапласа (или стандартного нормального распределения):

• \Phi(2.56) \approx 0.9948
• \Phi(-1.31) \approx 1 - \Phi(1.31) \approx 1 - 0.9049 = 0.0951

Тогда:  P(70 \leq k \leq 100) \approx 0.9948 - 0.0951 = 0.8997 

Ответ:

Вероятность того, что партия будет принята (т.е. от 70 до 100 бракованных деталей из 400):
\boxed{0{,}8997} или примерно \boxed{89{,}97\%}