Найти вероятность того, что среди 300 изделий не менее 95% будут доброкачественными

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний, приближение биномиального распределения нормальным (центральная предельная теорема)

Условие задачи:

Вероятность изготовления доброкачественного изделия: p = 0{,}9
Выборка: n = 300
Найти вероятность того, что среди 300 изделий не менее 95% будут доброкачественными, т.е. не менее:

0{,}95 \cdot 300 = 285 изделий.

Решение:

Количество доброкачественных изделий — случайная величина, распределённая по биномиальному закону:

X \sim \text{Bin}(n = 300, p = 0{,}9)

Так как n достаточно велико, применим аппроксимацию нормальным распределением (по центральной предельной теореме).

1. Вычислим математическое ожидание и стандартное отклонение:

M(X) = np = 300 \cdot 0{,}9 = 270
\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{300 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} = \sqrt{27} \approx 5{,}196

2. Применим нормальное приближение с поправкой на непрерывность:

Ищем вероятность того, что X \geq 285. При использовании нормального приближения:

P(X \geq 285) \approx P\left(Y \geq 284{,}5\right),
где Y \sim N(270, \sigma = \sqrt{27})

3. Стандартизируем:

 Z = \frac{284{,}5 - 270}{\sqrt{27}} \approx \frac{14{,}5}{5{,}196} \approx 2{,}79 

4. Найдём вероятность:

 P(X \geq 285) \approx P(Z \geq 2{,}79) 

По таблице стандартного нормального распределения:

 P(Z \geq 2{,}79) \approx 1 - \Phi(2{,}79) \approx 1 - 0{,}9974 = 0{,}0026 

Ответ:

\boxed{P \approx 0{,}0026}

Вероятность того, что среди 300 изделий будет не менее 95% доброкачественных, составляет примерно 0,26%.