Найти вероятность того, что среди 10 вынутых из ящика деталей нет бракованных

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности (формула Лапласа)

Условие:

Мы имеем ящик с 90 годными деталями и 10 бракованными, всего 100 деталей. Нужно найти вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, то есть все 10 вынутых деталей будут годными.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности — формулой Лапласа:

$P(A)=\frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}$

Шаг 1: Общее количество исходов

Так как всего в ящике 100 деталей и мы выбираем 10 деталей, то общее количество исходов — количество способов выбрать 10 деталей из 100. Это можно записать с помощью биномиального коэффициента (или сочетаний):

$C_{10}^{100}=\frac{100!}{10!(100-10)!}=\frac{100!}{10!\cdot 90!}$

Этот биномиальный коэффициент и представляет общее количество способов выбрать 10 деталей из 100.

Шаг 2: Количество благоприятных исходов

Для того чтобы среди вынутых 10 деталей не было бракованных, мы можем брать только годные детали. В ящике 90 годных деталей, значит, благоприятным исходом будет выбор 10 деталей из 90 годных. Это также можно записать с помощью биномиального коэффициента:

$C_{10}^{90}=\frac{90!}{10!(90-10)!}=\frac{90!}{10!\cdot 80!}$

Это количество способов выбрать 10 годных деталей из 90.

Шаг 3: Вероятность благоприятного исхода

Теперь можем подставить обе эти величины в формулу Лапласа для получения вероятности:

$P=\frac{C_{10}^{90}}{C_{10}^{100}}$

Где:

$C_{10}^{90}=\frac{90!}{10!\cdot 80!},C_{10}^{100}=\frac{100!}{10!\cdot 90!}$

Простое деление этих биномиальных коэффициентов можно записать как:

$P=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{10})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{10})}=\frac{\frac{90!}{10!\cdot 80!}}{\frac{100!}{10!\cdot 90!}}=\frac{90\cdot 89\cdot ...\cdot 81}{100\cdot 99\cdot ...\cdot 91}$

Шаг 4: Приблизительный расчет

После вычисления получается:

$P\approx 0.3305$

Следовательно, вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, равна ≈ 0,3305.

Ответ:

Вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, составляет $0.3305$.