Найти вероятность того, что среди 10 вынутых из ящика деталей нет бракованных

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности (формула Лапласа)

Условие:

Мы имеем ящик с 90 годными деталями и 10 бракованными, всего 100 деталей. Нужно найти вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, то есть все 10 вынутых деталей будут годными.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности — формулой Лапласа:

P(A) = \frac{{\text{количество благоприятных исходов}}}{{\text{общее количество исходов}}}

Шаг 1: Общее количество исходов

Так как всего в ящике 100 деталей и мы выбираем 10 деталей, то общее количество исходов — количество способов выбрать 10 деталей из 100. Это можно записать с помощью биномиального коэффициента (или сочетаний):

C^{100}_{10} = \frac{{100!}}{{10!(100-10)!}} = \frac{{100!}}{{10! \cdot 90!}}

Этот биномиальный коэффициент и представляет общее количество способов выбрать 10 деталей из 100.

Шаг 2: Количество благоприятных исходов

Для того чтобы среди вынутых 10 деталей не было бракованных, мы можем брать только годные детали. В ящике 90 годных деталей, значит, благоприятным исходом будет выбор 10 деталей из 90 годных. Это также можно записать с помощью биномиального коэффициента:

C^{90}_{10} = \frac{{90!}}{{10!(90-10)!}} = \frac{{90!}}{{10! \cdot 80!}}

Это количество способов выбрать 10 годных деталей из 90.

Шаг 3: Вероятность благоприятного исхода

Теперь можем подставить обе эти величины в формулу Лапласа для получения вероятности:

P = \frac{C^{90}_{10}}{C^{100}_{10}}

Где:

C^{90}_{10} = \frac{90!}{10! \cdot 80!}, \,C^{100}_{10} = \frac{100!}{10! \cdot 90!}

Простое деление этих биномиальных коэффициентов можно записать как:

P = \frac{\binom{90}{10}}{\binom{100}{10}} = \frac{\frac{90!}{10! \cdot 80!}}{\frac{100!}{10! \cdot 90!}} = \frac{90 \cdot 89 \cdot ... \cdot 81}{100 \cdot 99 \cdot ... \cdot 91}

Шаг 4: Приблизительный расчет

После вычисления получается:

P \approx 0.3305

Следовательно, вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, равна ≈ 0,3305.

Ответ:

Вероятность того, что среди 10 вынутых деталей нет бракованных, составляет 0.3305.