Найти вероятность того, что событие A произойдёт не менее 2 раз в 5 независимых испытаниях

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету теория вероятностей, а именно к разделу, связанному с дискретными случайными событиями и вероятностями их наступления при независимых испытаниях (биномиальное распределение).

Пояснение решения:

1. Вероятность наступления события \( A \) хотя бы один раз в 4 независимых опытах:

Вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз в 4 независимых опытах, равна 0,7599. Найдём вероятность того, что события \( A \) вообще не произойдёт в этих опытах. Если вероятность того, что событие \( A \) произойдёт хотя бы один раз, равна 0,7599, то вероятность того, что не произойдёт ни одного события \( A \) в этих 4 опытах равна:

\[ P(\text{ни одного события А в 4 опытах}) = 1 - 0,7599 = 0,2401 \]

Пусть вероятность того, что событие \( A \) не произойдёт в одном испытании — это \( q \), а вероятность того, что оно произойдёт — это \( p = 1 - q \). Тогда вероятность того, что событие \( A \) не произойдёт в 4 независимых испытаниях, выражается как \( q^4 \). Итак, у нас имеется:

\[ q^4 = 0,2401 \]

Извлекаем корень четвёртой степени для нахождения \( q \):

\[ q = \sqrt[4]{0,2401} = 0,7 \]

Теперь находим вероятность того, что событие \( A \) произойдёт в одном испытании:

\[ p = 1 - q = 1 - 0,7 = 0,3 \]

Итак, вероятность того, что событие произойдёт в одном испытании, равна \( p = 0,3 \).

2. Вероятность того, что событие \( A \) произойдёт не менее двух раз в 5 независимых испытаниях:

Теперь найдём вероятность того, что событие \( A \) произойдёт не менее 2 раз в 5 независимых испытаниях. Это можно выразить как \( 1 \) минус вероятность того, что событие \( A \) произойдёт 0 или 1 раз в этих 5 испытаниях. То есть нам нужно найти:

\[ P(\text{не менее 2 раз}) = 1 - P(X = 0 \, \text{или} \, X = 1) \]

Где \( X \) — это количество раз, когда событие \( A \) произошло в 5 испытаниях. Это дискретное случайное событие можно описать биномиальным распределением с параметрами \( n = 5 \) и \( p = 0,3 \).

Вероятность того, что событие произойдёт 0 раз:

\[ P(X = 0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^5 = (1) \cdot (0,3)^0 \cdot (0,7)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,16807 = 0,16807 \]

Вероятность того, что событие произойдёт 1 раз:

\[ P(X = 1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^4 = (5) \cdot (0,3)^1 \cdot (0,7)^4 = 5 \cdot 0,3 \cdot 0,2401 = 5 \cdot 0,07203 = 0,36015 \]

Теперь сложим эти вероятности:

\[ P(X = 0 \, \text{или} \, X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,16807 + 0,36015 = 0,52822 \]

Вероятность того, что событие произойдёт не менее 2 раз:

\[ P(\text{не менее 2 раз}) = 1 - P(X = 0 \, \text{или} \, X = 1) = 1 - 0,52822 = 0,47178 \]

Ответ:

Вероятность того, что событие \( A \) произойдёт не менее 2 раз в 5 независимых испытаниях, равна \( \boxed{0,47178} \).