Найти вероятность того, что случайно выбранный студент — отличник

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула полной вероятности и формула Байеса

Обозначим:

• Пусть число студентов в первой группе — N, тогда в третьей группе также N, а во второй — \frac{2}{3}N.
• Вероятность попадания случайного студента из первой группы:
  P(A_1) = \frac{N}{N + \frac{2}{3}N + N} = \frac{3}{8}.
• Вероятность попадания случайного студента из второй группы:
  P(A_2) = \frac{\frac{2}{3}N}{N + \frac{2}{3}N + N} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
• Вероятность попадания случайного студента из третьей группы:
  P(A_3) = \frac{N}{N + \frac{2}{3}N + N} = \frac{3}{8}.

Даны вероятности того, что студент — отличник в каждой группе:

• P(B|A_1) = 0.09
• P(B|A_2) = 0.04
• P(B|A_3) = 0.06

Часть (a): Найти вероятность того, что случайно выбранный студент — отличник

По формуле полной вероятности:
 P(B) = P(B|A_1) P(A_1) + P(B|A_2) P(A_2) + P(B|A_3) P(A_3) 

Подставляем значения:
 P(B) = (0.09 \cdot \frac{3}{8}) + (0.04 \cdot \frac{1}{4}) + (0.06 \cdot \frac{3}{8}) 

Вычисляем:
 P(B) = \frac{0.27}{8} + \frac{0.04}{4} + \frac{0.18}{8} 
 P(B) = \frac{0.27}{8} + \frac{0.08}{8} + \frac{0.18}{8} = \frac{0.53}{8} = 0.06625 

Часть (b): Найти вероятность того, что студент из третьей группы, если он оказался отличником

Используем формулу Байеса:
 P(A_3|B) = \frac{P(B|A_3) P(A_3)}{P(B)} 

Подставляем значения:
 P(A_3|B) = \frac{0.06 \cdot \frac{3}{8}}{0.06625} 

Вычисляем:
 P(A_3|B) = \frac{0.18}{8} \div 0.06625 = \frac{0.0225}{0.06625} \approx 0.34 

Ответ:
(a) Вероятность того, что случайно выбранный студент — отличник: 0.06625 (≈6.63%)
(b) Вероятность того, что студент из третьей группы, если он оказался отличником: 0.34 (≈34%)