Найти вероятность того, что сгорит не более двух телевизоров

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, биномиальное распределение

Условие задачи:

Пусть проводится испытание 5 телевизоров, каждый из которых может самовозгореться с вероятностью 0.1 в течение двух суток. Требуется найти вероятность того, что сгорит не более двух телевизоров.

Шаг 1: Определим тип случайной величины

Пусть случайная величина X — количество телевизоров, которые сгорят за время испытания.

Каждый телевизор "горит" независимо с вероятностью p = 0.1, и всего телевизоров n = 5.

Следовательно, X — биномиальная случайная величина с параметрами n = 5 и p = 0.1:

 X \sim \text{Bin}(n=5, p=0.1) 

Шаг 2: Найдём вероятность того, что сгорит не более двух телевизоров:

То есть нужно найти:

 P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 

Формула биномиального распределения:

 P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

Где C_n^k — биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k).

Шаг 3: Вычислим каждую из вероятностей

1. P(X = 0):

 P(0) = C_5^0 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.59049 = 0.59049 

2. P(X = 1):

 P(1) = C_5^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^4 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.6561 = 0.32805 

3. P(X = 2):

 P(2) = C_5^2 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^3 = 10 \cdot 0.01 \cdot 0.729 = 0.0729 

Шаг 4: Сложим вероятности

 P(X \leq 2) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 = 0.99144 

Ответ:

Вероятность того, что сгорит не более двух телевизоров, равна:

 \boxed{0.99144}  (или 99.144%)