Найти вероятность того, что сапфиры не располагаются друг за другом (то есть между любыми двумя сапфирами есть хотя бы один рубин)

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и комбинаторика

Дано:

• 4 различных рубина
• 3 различных сапфира
• Изделие украшается рядом из этих камней (всего 7 камней: 4 рубина + 3 сапфира)
• Нужно найти вероятность того, что сапфиры не располагаются друг за другом (то есть между любыми двумя сапфирами есть хотя бы один рубин).

Шаг 1. Определим общее число способов расположить 7 камней

Все камни различны, значит общее число различных перестановок 7 камней равно:

7! = 5040

Шаг 2. Найдем число способов расположить камни так, чтобы сапфиры не были рядом

Условие "сапфиры не располагаются друг за другом" означает, что между любыми двумя сапфирами стоит хотя бы один рубин.

Рассмотрим расположение рубинов сначала. У нас 4 рубина, которые можно расположить между собой:

4! = 24

Теперь между рубинами и по краям образуются "щели", куда можно вставить сапфиры, чтобы они не были рядом.

Количество таких щелей равно количеству рубинов + 1:

4 + 1 = 5

Эти щели обозначим как:  R  R  R  R _

Нужно разместить 3 сапфира в эти 5 щелей так, чтобы в каждой щели было не более одного сапфира (иначе сапфиры будут рядом).

Количество способов выбрать 3 щели из 5 для сапфиров:

\binom{5}{3} = 10

Расположение сапфиров в выбранных щелях:

Поскольку сапфиры различны, их перестановки дают:

3! = 6

Шаг 3. Найдем число благоприятных перестановок

Число способов расположить рубины и сапфиры так, чтобы сапфиры не были рядом:

4! \times \binom{5}{3} \times 3! = 24 \times 10 \times 6 = 1440

Шаг 4. Найдем искомую вероятность

Вероятность того, что сапфиры не будут расположены рядом:

P = \frac{1440}{5040} = \frac{1440}{5040} = \frac{144}{504} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}

Ответ:

Вероятность того, что сапфиры не располагаются друг за другом равна \frac{2}{7}.