Найти вероятность того, что ровно t сигналов передаются без искажений (формула Бернулли)

Определение предмета и раздела

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Дискретные распределения вероятностей (биномиальное распределение)

Дано (вариант 16):

1. Число испытаний: n = 9
2. Число успешных исходов: t = 7
3. Вероятность успеха в одном испытании: p = 1 - r = 1 - 0.005 = 0.995

1а) Найти вероятность того, что ровно t сигналов передаются без искажений (формула Бернулли):

Формула Бернулли:
 P(X = t) = C_n^t \cdot p^t \cdot (1 - p)^{n - t} 
где C_n^t — биномиальный коэффициент:
 C_n^t = \frac{n!}{t!(n-t)!} 

Подставляем значения:
 C_9^7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 

 P(X = 7) = 36 \cdot (0.995)^7 \cdot (1 - 0.995)^{9-7} 

Вычисляем:
 (0.995)^7 \approx 0.965 
 (0.005)^2 = 0.000025 

 P(X = 7) \approx 36 \times 0.965 \times 0.000025 

 P(X = 7) \approx 0.00087 

1c) Найти вероятность того, что будет более одного искажённого сигнала (формула Лапласа):

Используем дополнение:
 P(X > 1) = 1 - P(X = 9) - P(X = 8) 

Для P(X = 9):
 P(X = 9) = C_9^9 \cdot (0.995)^9 \cdot (0.005)^0 = 1 \cdot (0.995)^9 

 (0.995)^9 \approx 0.955 

Для P(X = 8):
 P(X = 8) = C_9^8 \cdot (0.995)^8 \cdot (0.005)^1 

 C_9^8 = 9 

 (0.995)^8 \approx 0.97 

 P(X = 8) \approx 9 \times 0.97 \times 0.005 = 0.04365 

Теперь считаем:
 P(X > 1) = 1 - 0.955 - 0.04365 = 0.00135 

Ответ:

1а) P(X = 7) \approx 0.00087
1c) P(X > 1) \approx 0.00135