Найти вероятность того, что ровно 3 из них заполнены правильно

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Гипергеометрическое распределение

Условие задачи:

Из 11 работников фирмы 7 заполнили налоговую декларацию без ошибок. Проверяется 5 деклараций. Нужно найти вероятность того, что ровно 3 из них заполнены правильно.

Решение:

Так как выборка производится без возвращения, и мы знаем общее количество успешных и неуспешных исходов, то задача решается с помощью гипергеометрического распределения.

Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из ( n ) элементов будет ровно ( k ) "успешных", если в генеральной совокупности из ( N ) элементов содержится ( K ) "успешных" и ( N-K ) "неуспешных".

Формула гипергеометрического распределения:

 P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}}{{\binom{N}{n}}} 

Подставим значения:

• Общее число работников: [N = 11]
• Число правильно заполнивших: [K = 7]
• Размер выборки: [n = 5]
• Число правильно заполненных в выборке: [k = 3]

Подставим в формулу:

 P(X = 3) = \frac{{\binom{7}{3} \cdot \binom{4}{2}}}{{\binom{11}{5}}} 

Вычислим биномиальные коэффициенты:

• [\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35]
• [\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6]
• [\binom{11}{5} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462]

Теперь подставим:

 P(X = 3) = \frac{35 \cdot 6}{462} = \frac{210}{462} = \frac{35}{77} \approx 0.4545 

Ответ:

\boxed{P = \frac{35}{77} \approx 0.4545}

Вероятность того, что из 5 проверенных деклараций 3 окажутся правильно заполненными, составляет примерно 0.4545 или 45.45%.