Найти вероятность того, что ровно 2 сигнала будут приняты ошибочно

Задание относится к разделу теории вероятностей предмета математика. Оно решается с применением биномиального распределения.

Обозначения:

• Количество сигналов \( n = 200 \),
• Вероятность ошибочного приёма одного сигнала \( p = 0.015 \),
• Вероятность правильного приёма сигнала \( q = 1 - p = 0.985 \),
• Количество требуемых ошибочных сигналов \( k \).

Биномиальная формула:

Вероятность \( P(k) \) при \( k \) ошибочных сигналах из \( n \) переданных рассчитывается по формуле:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \] где:

• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), то есть:
• \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
• \( p \) — вероятность ошибки,
• \( q \) — вероятность правильного приёма.

1. Найти вероятность того, что ровно 2 сигнала будут приняты ошибочно.

Используем формулу с \( k = 2 \):

\[ P(2) = C_{200}^2 \cdot 0.015^2 \cdot 0.985^{198}. \]

Сначала вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C_{200}^2 = \frac{200 \times 199}{2!} = \frac{200 \times 199}{2} = 19900. \]

Теперь подставим всё в формулу:

\[ P(2) = 19900 \times 0.015^2 \times 0.985^{198}. \]

Вычисляем:

\[ P(2) = 19900 \times 0.000225 \times 0.7416 \approx 0.1457. \]

То есть вероятность того, что ровно 2 сигнала будут приняты ошибочно, составляет \( 0.1457 \).

2. Найти вероятность ошибочного приёма не менее \( k \) сигналов.

Нас интересует вероятность, что будет ошибочно принято не менее \( k \) сигналов, то есть:

\[ P(X \geq k) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1). \]

• Вероятность того, что ни одного сигнала не принято ошибочно (\( k = 0 \)):
• \[ P(0) = C_{200}^0 \cdot 0.015^0 \cdot 0.985^{200} = 0.985^{200}. \]
• \[ 0.985^{200} \approx 0.0476. \]
• Вероятность ошибочного приёма одного сигнала (\[ k = 1 \]):
• \[ P(1) = C_{200}^1 \cdot 0.015^1 \cdot 0.985^{199} = 200 \times 0.015 \times 0.985^{199}. \]
• \[ P(1) \approx 200 \times 0.015 \times 0.729 \approx 0.0874. \]

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - 0.0476 - 0.0874 = 0.8927. \]

Ответы:

1. Вероятность того, что ровно 2 сигнала будут приняты ошибочно: \( P(2) \approx 0.1457 \).
2. Вероятность ошибочного приёма 2 или более сигналов: \( P(X \geq 2) \approx 0.8927 \).

Теперь находим вероятность того, что ошибочно принято 2 или больше сигналов: