Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,75, но не более 16,3км

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Нормальное распределение

Условие задачи:

Дано расстояние между двумя населёнными пунктами, которое подчиняется нормальному закону распределения. Параметры распределения:

• Математическое ожидание \mu = 16 \, \text{км},
• Среднее квадратичное отклонение \sigma = 0.1 \, \text{км} \, (100 \, \text{м}).

Требуется найти вероятность того, что расстояние X находится в интервале [15.75 \, \text{км}; 16.3 \, \text{км}].

Решение:

1. Стандартное нормальное распределение: Распределение расстояния X подчиняется нормальному закону с параметрами \mu и \sigma. Чтобы вычислить вероятность, нужно перейти к стандартному нормальному распределению Z, которое имеет параметры \mu = 0 и \sigma = 1. Преобразование осуществляется по формуле: Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.

2. Преобразование границ интервала: Для интервала [15.75; 16.3] вычислим значения Z для каждой границы:

   • Для X_1 = 15.75:
     Z_1 = \frac{15.75 - 16}{0.1} = \frac{-0.25}{0.1} = -2.5.
   • Для X_2 = 16.3:
     Z_2 = \frac{16.3 - 16}{0.1} = \frac{0.3}{0.1} = 3.0.

3. Таким образом, интервал для Z:
   Z \in [-2.5; 3.0].

4. Вычисление вероятности: Вероятность того, что X находится в заданном интервале, равна вероятности того, что Z находится в интервале [-2.5; 3.0]. Это можно записать как: P(15.75 \leq X \leq 16.3) = P(-2.5 \leq Z \leq 3.0).

   Для нормального распределения вероятность вычисляется через функцию распределения \Phi(Z), которая определяет вероятность того, что случайная величина Z меньше заданного значения. Тогда: P(-2.5 \leq Z \leq 3.0) = \Phi(3.0) - \Phi(-2.5).

5. Значения функции распределения: Используем таблицы стандартного нормального распределения или программное обеспечение для нахождения значений \Phi(Z):

   • \Phi(3.0) \approx 0.99865,
   • \Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5) \approx 1 - 0.99379 = 0.00621.

6. Таким образом: P(-2.5 \leq Z \leq 3.0) = 0.99865 - 0.00621 = 0.99244.

7. Ответ: Вероятность того, что расстояние между пунктами находится в интервале [15.75; 16.3], равна: P(15.75 \leq X \leq 16.3) \approx 0.99244, или 99.244\%.

Итог:

Вероятность того, что расстояние между пунктами будет не менее 15.75 км, но не более 16.3 км, составляет примерно 99.244\%.