Найти вероятность того, что проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях

Определение предмета и раздела предмета:

Это задание относится к теории вероятностей, а конкретно к разделу «Дискретные распределения», в частности к распределению Пуассона.

Шаг 1: Понимание задачи

В задании у нас:

• Средний процент невозврата кредита составляет \(5\%\). Это означает, что в среднем 5% кредитов не возвращаются вовремя.
• Общее количество выданных кредитов \(n = 1000\).
• Требуется найти вероятность того, что проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях.

Шаг 2: Применение распределения Пуассона

Распределение Пуассона используется для оценки вероятности определённого числа событий при известной средней частоте этих событий на фиксированный интервал. В данном случае:

• Общее количество выданных кредитов \(n = 1000\).
• Средний процент невозврата \(p = 5\%\), или \(p = 0.05\).
• Таким образом, среднее число кредитов, которые не будут возвращены вовремя, рассчитывается как \(\lambda = np = 1000 \times 0.05 = 50\).

Шаг 3: Формула вероятности по распределению Пуассона

Формула для распределения Пуассона выглядит так:

\[ P(k, \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

где:

• \(P(k, \lambda)\) — вероятность того, что произойдёт \(k\) событий.
• \( \lambda \) — среднее количество событий (в нашем случае, \( \lambda = 50\)).
• \(k\) — конкретное число событий, для которого мы считаем вероятность (в нашем случае \(k\) меняется).
• \(e\) — основание натурального логарифма, примерно равное 2.71828.

Нам нужно найти вероятность того, что проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях. То есть, нас интересует сумма вероятностей для \(k = 2, 3, 4, \dots\). Проще всего воспользоваться дополнительным событием, а именно: найдём вероятность того, что проблемы возникнут в 0 или 1 случае, а затем вычтем это из единицы.

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]

Шаг 4: Вычисление вероятностей для \(P(X = 0)\) и \(P(X = 1)\)

1. Для \(P(X = 0)\):

\[ P(0, 50) = \frac{50^0 e^{-50}}{0!} = \frac{e^{-50}}{1} = e^{-50} \]

2. Для \(P(X = 1)\):

\[ P(1, 50) = \frac{50^1 e^{-50}}{1!} = \frac{50 e^{-50}}{1} = 50 e^{-50} \]

Подставляем эти значения в выражение:

\[ P(X \geq 2) = 1 - (e^{-50} + 50 e^{-50}) \]

\[ P(X \geq 2) = 1 - e^{-50}(1 + 50) \]

Шаг 5: Оценка значений

Теперь найдем приближённое значение \(e^{-50}\). Это число очень мало, его значение составляет примерно:

\[ e^{-50} \approx 1.92874985 \times 10^{-22} \]

Следовательно:

\[ P(X \geq 2) = 1 - (1.92874985 \times 10^{-22} \times 51) \]

Так как \(1.92874985 \times 10^{-22} \times 51\) чрезвычайно мало (примерно \(9.83 \times 10^{-21}\)), можно считать его равным 0 с математической точки зрения.

Ответ:

\[ P(X \geq 2) \approx 1 \]

Таким образом, вероятность того, что при выдаче банком 1000 кредитов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях, фактически равна 1 (или очень-очень близка к 1).