Найти вероятность того, что приобретенное изделие со второго завода

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула полной вероятности и формула Байеса

Дано:

• Объем продукции второго завода в 3 раза больше, чем первого.
• Объем продукции третьего завода в 2 раза больше, чем первого.
• Доля брака на заводах:
  • Первый завод: 2%
  • Второй завод: 1%
  • Третий завод: 1.5%

Обозначим:

• P(Z_1), P(Z_2), P(Z_3) — вероятности того, что изделие поступило с первого, второго и третьего завода соответственно.
• P(B|Z_1), P(B|Z_2), P(B|Z_3) — вероятности брака при условии, что изделие поступило с соответствующего завода.

Решение пункта (а):

Найдем вероятность того, что приобретенное изделие поступило со второго завода.

Пусть объем продукции первого завода — x. Тогда:

• Второй завод производит 3x.
• Третий завод производит 2x.
• Общий объем продукции:
  x + 3x + 2x = 6x.

Следовательно, вероятность, что случайно выбранное изделие поступило со второго завода:

 P(Z_2) = \frac{3x}{6x} = \frac{3}{6} = 0.5. 

Решение пункта (б):

Найдем вероятность того, что изделие оказалось бракованным, если оно поступило со второго завода.

Используем формулу полной вероятности для события "изделие бракованное":

 P(B) = P(B|Z_1) P(Z_1) + P(B|Z_2) P(Z_2) + P(B|Z_3) P(Z_3). 

Подставляем значения:

 P(B) = 0.02 \cdot \frac{1}{6} + 0.01 \cdot \frac{3}{6} + 0.015 \cdot \frac{2}{6}. 

Вычисляем:

 P(B) = \frac{0.02}{6} + \frac{0.03}{6} + \frac{0.03}{6} = \frac{0.08}{6} = 0.0133. 

Теперь используем формулу Байеса для нахождения условной вероятности:

 P(Z_2 | B) = \frac{P(B | Z_2) P(Z_2)}{P(B)}. 

Подставляем:

 P(Z_2 | B) = \frac{0.01 \cdot 0.5}{0.0133} = \frac{0.005}{0.0133} \approx 0.375. 

Ответ:
а) Вероятность того, что приобретенное изделие со второго завода: 0.5.
б) Вероятность того, что приобретенное изделие оказалось со второго завода при условии, что оно бракованное: 0.375.