Найти вероятность того, что при 30 выстрелах с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3, будет 8 попаданий

Этот пример задачи относится к разделу теории вероятностей, конкретно к биномиальному распределению.

Биномиальное распределение описывает количество удачных исходов в серии из \( n \) независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность успеха \( p \). В данной задаче:

• \( n = 30 \) (количество выстрелов),
• \( p = 0.3 \) (вероятность попадания при отдельном выстреле),
• \( k = 8 \) (необходимо определить вероятность того, что будет 8 попаданий).

1. Вычислим биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\): \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
2. Подставим значения \( n = 30 \) и \( k = 8 \): \[ \binom{30}{8} = \frac{30!}{8!(30 - 8)!} = \frac{30!}{8! \cdot 22!} \] Это значение можно вычислить либо вручную, либо с применением калькулятора: \[ \binom{30}{8} ≈ 5852925 \]
3. Теперь подставим все значения в общую формулу: \[ P(X = 8) = \binom{30}{8} (0.3)^8 (1 - 0.3)^{30 - 8} \] \[ P(X = 8) = 5852925 \cdot (0.3)^8 \cdot (0.7)^{22} \]
4. Вычислим числовые значения: \[ (0.3)^8 ≈ 6.561 \times 10^{-5} \] \[ (0.7)^{22} ≈ 1.348 \times 10^{-4} \]
5. Окончательное вычисление: \[ P(X = 8) ≈ 5852925 \cdot 6.561 \times 10^{-5} \cdot 1.348 \times 10^{-4} \] \[ P(X = 8) ≈ 0.114 \]

Вероятность того, что при 30 выстрелах стрелок попадет точно в цель 8 раз, составляет примерно \( 0.114 \) или 11.4%.