Найти вероятность того, что появилось две единицы или более

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность, независимые события, биномиальное распределение, вероятностные игры

Рассмотрим по порядку задачи из задания 6.

Задача 6.1

Условие: При бросании 4 игральных костей появилась, по крайней мере, одна единица. Найти вероятность того, что появилось две единицы или более.

Решение:

Обозначим события:

• [A] — выпала хотя бы одна единица
• [B] — выпало две единицы или более

Найти: [P(B \mid A)] — условная вероятность

Используем формулу условной вероятности:

 [P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)}] 

Так как событие [B \subset A], то [P(B \cap A) = P(B)].

Найдём [P(A)] — вероятность хотя бы одной единицы:

Вероятность, что не выпало ни одной единицы: [\left( \frac{5}{6} \right)^4]
Тогда:

 [P(A) = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296}] 

Теперь найдём [P(B)] — вероятность, что выпало две или более единицы.

Это 1 минус вероятность, что выпало 0 или 1 единица.

Пусть [X] — число единиц. Это биномиальное распределение: [X \sim \text{Bin}(4, \frac{1}{6})]

Тогда:

 \begin{align*} P(X = 0) &= \left( \frac{5}{6} \right)^4 = \frac{625}{1296} \ P(X = 1) &= C_4^1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} \ P(X \geq 2) &= 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - \frac{625 + 500}{1296} = \frac{171}{1296} \end{align*} 

Теперь подставим в формулу условной вероятности:

 [P(B \mid A) = \frac{171/1296}{671/1296} = \frac{171}{671} \approx 0.255] 

Задача 6.2

Условие: Вероятности попадания в мишень для трёх стрелков равны 0.8, 0.7 и 0.9. Каждый делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени не более 2 пробоин.

Решение:

Обозначим попадание как успех. Нужно найти вероятность, что попало 0, 1 или 2 стрелка.

Возможные случаи:

1. 0 попаданий: [(1 - 0.8)(1 - 0.7)(1 - 0.9) = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.1 = 0.006]
2. 1 попадание: три варианта:
   • Попал только 1-й: [0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.1 = 0.024]
   • Только 2-й: [0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.1 = 0.014]
   • Только 3-й: [0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.9 = 0.054]
   • Сумма: [0.024 + 0.014 + 0.054 = 0.092]
3. 2 попадания:
   • 1-й и 2-й: [0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.1 = 0.056]
   • 1-й и 3-й: [0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.9 = 0.216]
   • 2-й и 3-й: [0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.9 = 0.126]
   • Сумма: [0.056 + 0.216 + 0.126 = 0.398]

Суммарная вероятность:

 [P(\text{не более 2 пробоин}) = 0.006 + 0.092 + 0.398 = 0.496] 

Задача 6.3

Условие: Игроки A и B поочерёдно бросают монету. Побеждает тот, у кого первым выпадет "герб". A начинает. Найти вероятность, что A победит не позже 4-го броска.

Решение:

Пусть "герб" выпадает с вероятностью [p = 0.5]. Рассмотрим все возможные исходы, при которых A выигрывает на 1-м, 3-м или 5-м броске (до 4-х бросков включительно).

• A выигрывает на 1-м броске: [0.5]
• A выигрывает на 3-м броске: оба первые броска — "решка", третий — "герб": [0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125]
• A выигрывает на 5-м броске: первые 4 — "решки", пятый — "герб": [0.5^5 = 0.03125]

Сумма:

 [P = 0.5 + 0.125 + 0.03125 = 0.65625] 

Задача 6.4

Условие: Три студента решают, идти ли на дискотеку. Первые два бросают монету, и если выпал "герб", голосуют "за". Третий бросает кубик и голосует "за", если выпало 6. Решение принимается по большинству.

Решение:

Пусть:

• Вероятность, что студент 1 голосует "за": [0.5]
• Студент 2: [0.5]
• Студент 3: [1/6]

Идём по случаям, когда как минимум 2 из 3 голосуют "за".

Случай 1: первые два "за" (не важно, что скажет третий):

[0.5 \cdot 0.5 = 0.25]

Случай 2: один из первых двух "за", третий "за":

• Студент 1 "за", 2 "против", 3 "за": [0.5 \cdot 0.5 \cdot 1/6 = 0.0417]
• Студент 1 "против", 2 "за", 3 "за": [0.5 \cdot 0.5 \cdot 1/6 = 0.0417]

Сумма: [0.0833]

Случай 3: только третий "за" — не даёт большинства (1 из 3)

Общая вероятность:

 [P(\text{решение "идти"}) = 0.25 + 0.0833 = 0.3333] 

Ответы:

• 6.1: [P = \frac{171}{671} \approx 0.255]
• 6.2: [P = 0.496]
• 6.3: [P = 0.65625]
• 6.4: [P = \frac{1}{3}]