Найти вероятность того, что после перекладывания, случайно выбранная монета из левого кармана будет достоинством 20 руб

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность, комбинаторика

Условие задачи:

• В правом кармане: 4 монеты по 20 руб. и 2 монеты по 50 руб.
• В левом кармане: 6 монет по 20 руб. и 3 монеты по 50 руб.
• Из правого кармана наугад перекладываются 3 монеты в левый.
• Требуется найти вероятность того, что после перекладывания, случайно выбранная монета из левого кармана будет достоинством 20 руб.

Шаг 1: Обозначим исходные данные

В правом кармане:

• 4 монеты по 20 руб.
• 2 монеты по 50 руб.

Итого: 6 монет

Из них выбираются 3 монеты. Возможны различные комбинации монет по номиналу.

Обозначим:

• Пусть [k] — число монет по 20 руб., попавших в левый карман из правого.
• Тогда [3 - k] — число монет по 50 руб., попавших в левый карман.

Шаг 2: Используем формулу классической вероятности

Обозначим:

• [C(n, k)] — число сочетаний из [n] по [k].

Общее число способов выбрать 3 монеты из 6: C(6, 3) = 20

Теперь рассмотрим возможные значения [k = 0, 1, 2, 3] и найдем вероятность каждого случая и соответствующее число монет по 20 руб. в левом кармане.

Шаг 3: Рассчитаем вероятности и итоговое количество монет по 20 руб.

Случай 1: [k = 0] (все 3 монеты — по 50 руб.)

• Вероятность: P_0 = \frac{C(4, 0) \cdot C(2, 3)}{C(6, 3)} = 0 (так как [C(2, 3) = 0])
• В левом кармане: 6 (исходных) + 0 = 6 монет по 20 руб., всего монет: 9 + 3 = 12

Случай 2: [k = 1] (1 монета по 20 руб., 2 — по 50 руб.)

• Вероятность: P_1 = \frac{C(4, 1) \cdot C(2, 2)}{C(6, 3)} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{1}{5}
• В левом кармане: 6 + 1 = 7 монет по 20 руб., всего: 12 монет

Случай 3: [k = 2] (2 монеты по 20 руб., 1 — по 50 руб.)

• Вероятность: P_2 = \frac{C(4, 2) \cdot C(2, 1)}{C(6, 3)} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{3}{5}
• В левом кармане: 6 + 2 = 8 монет по 20 руб., всего: 12 монет

Случай 4: [k = 3] (все 3 монеты — по 20 руб.)

• Вероятность: P_3 = \frac{C(4, 3) \cdot C(2, 0)}{C(6, 3)} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{1}{5}
• В левом кармане: 6 + 3 = 9 монет по 20 руб., всего: 12 монет

Шаг 4: Найдём полную вероятность извлечения монеты по 20 руб.

 P = P_1 \cdot \frac{7}{12} + P_2 \cdot \frac{8}{12} + P_3 \cdot \frac{9}{12} 

Подставим вероятности:

 P = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{12} + \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{12} + \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{12} 

Посчитаем:

 P = \frac{7}{60} + \frac{24}{60} + \frac{9}{60} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} 

Ответ:

Вероятность того, что из левого кармана после перекладывания будет извлечена монета достоинством 20 руб., равна
\frac{2}{3}