Найти вероятность того, что после перекладывания, при извлечении одной монеты из левого кармана, будет извлечена монета в 20 руб

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность, комбинаторика

Условие задачи:

В правом кармане:

• 4 монеты по 20 руб.
• 2 монеты по 50 руб.
  Итого: 6 монет

В левом кармане:

• 6 монет по 20 руб.
• 3 монеты по 50 руб.
  Итого: 9 монет

Из правого кармана наугад перекладываются 3 монеты в левый.
Нужно найти вероятность того, что после перекладывания, при извлечении одной монеты из левого кармана, будет извлечена монета в 20 руб.

Этап 1: Возможные варианты перекладывания из правого кармана

Обозначим:

• Монеты по 20 руб. — "20"
• Монеты по 50 руб. — "50"

В правом кармане: 4 монеты по 20, 2 по 50. Нужно выбрать 3 монеты. Возможны следующие распределения (число монет по 20 и по 50):

• 3 монеты по 20 и 0 по 50
• 2 монеты по 20 и 1 по 50
• 1 монета по 20 и 2 по 50

(Больше 2 монет по 50 не может быть — их всего 2)

Для каждого случая найдем:

1. Вероятность такого выбора
2. Сколько монет по 20 будет в левом кармане после перекладывания
3. Общая вероятность вытащить монету по 20 из левого кармана

Этап 2: Комбинаторные вычисления

Общее число способов выбрать 3 монеты из 6 (4 по 20 и 2 по 50):

C = C(6, 3) = 20

Случай 1: 3 монеты по 20 (0 по 50)

Число таких сочетаний:

C(4, 3) = 4

Вероятность:

P_1 = \frac{4}{20} = 0.2

После перекладывания в левом кармане:

• 6 + 3 = 9 монет по 20
• 3 монеты по 50

Всего: 12 монет

Вероятность вытащить монету по 20:

P(A|1) = \frac{9}{12} = 0.75

Случай 2: 2 монеты по 20 и 1 по 50

Число таких сочетаний:

C(4, 2) \cdot C(2, 1) = 6 \cdot 2 = 12

Вероятность:

P_2 = \frac{12}{20} = 0.6

После перекладывания:

• 6 + 2 = 8 монет по 20
• 3 + 1 = 4 монеты по 50

Всего: 12 монет

Вероятность вытащить монету по 20:

P(A|2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Случай 3: 1 монета по 20 и 2 по 50

Число таких сочетаний:

C(4, 1) \cdot C(2, 2) = 4 \cdot 1 = 4

Вероятность:

P_3 = \frac{4}{20} = 0.2

После перекладывания:

• 6 + 1 = 7 монет по 20
• 3 + 2 = 5 монет по 50

Всего: 12 монет

Вероятность вытащить монету по 20:

P(A|3) = \frac{7}{12}

Этап 3: Общая вероятность (по формуле полной вероятности)

 P(A) = P_1 \cdot P(A|1) + P_2 \cdot P(A|2) + P_3 \cdot P(A|3) 

Подставим значения:

 P(A) = 0.2 \cdot 0.75 + 0.6 \cdot \frac{2}{3} + 0.2 \cdot \frac{7}{12} 

Вычислим:

• 0.2 \cdot 0.75 = 0.15
• 0.6 \cdot \frac{2}{3} = 0.6 \cdot 0.666... = 0.4
• 0.2 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1.4}{12} ≈ 0.1167

Складываем:

 P(A) = 0.15 + 0.4 + 0.1167 = 0.6667 ≈ \frac{2}{3} 

Ответ:

\boxed{\frac{2}{3}}

Вероятность того, что после перекладывания при извлечении из левого кармана будет выбрана монета по 20 руб., равна \frac{2}{3}.