Найти вероятность того, что после броска игральной кости 3600 раз 6 выйдет меньше 900 раз

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Законы распределения случайных величин

Задача связана с использованием биномиального распределения или нормального приближения для оценки вероятности.

Условие задачи:
Игральную кость бросают 3600 раз. Нужно найти вероятность того, что число выпадений "6" будет меньше 900.

Решение:

1. Определим параметры задачи:

Игральная кость имеет 6 граней, вероятность выпадения "6" равна: p = \frac{1}{6}.
Общее число бросков: n = 3600.

Обозначим случайную величину X, которая равна числу выпадений "6".
X имеет биномиальное распределение: X \sim \text{Bin}(n, p).

Математическое ожидание и дисперсия:  \mathbb{E}[X] = n \cdot p = 3600 \cdot \frac{1}{6} = 600, \quad \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 3600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 500. 

2. Нормальное приближение:

При больших n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением: X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2),
где \mu = \mathbb{E}[X] = 600, \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{500} \approx 22.36.

Ищем вероятность: P(X < 900).

3. Преобразование к стандартному нормальному распределению:

Преобразуем X к стандартной нормальной случайной величине Z:  Z = \frac{X - \mu}{\sigma}. 

Для X = 900:  Z = \frac{900 - 600}{22.36} \approx \frac{300}{22.36} \approx 13.42. 

4. Вывод:

Значение Z = 13.42 соответствует крайне малой вероятности (практически нулевой) для стандартного нормального распределения.
Таким образом, вероятность того, что выпадет меньше 900 "6", равна 1 (практически 100%).