Найти вероятность того, что попадёт как минимум 2900 снарядов

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, биномиальное распределение, приближение нормальным распределением

Условие задачи:

• Вероятность попадания одного снаряда: [p = 0.6]
• Количество выстрелов: [n = 5000]
• Нужно найти:
  1. Вероятность того, что попадёт как минимум 2900 снарядов: [P(X \geq 2900)]
  2. Вероятность того, что попадёт от 2850 до 3100 снарядов: [P(2850 \leq X \leq 3100)]

Решение:

Случайная величина [X] — количество попаданий из 5000 выстрелов.
[X] имеет биномиальное распределение:
[X \sim \text{Bin}(n = 5000, p = 0.6)]

Так как [n] большое, можно использовать приближение нормальным распределением:

• Математическое ожидание: [\mu = np = 5000 \cdot 0.6 = 3000]

• Дисперсия: [\sigma^2 = np(1 - p) = 5000 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 1200]

• Среднеквадратичное отклонение: [\sigma = \sqrt{1200} \approx 34.641]

а) Найти [P(X \geq 2900)]

Переходим к нормальному распределению. При нормальном приближении применяется правило непрерывности, поэтому:

[P(X \geq 2900) \approx P(Y \geq 2899.5)], где [Y \sim N(3000, 1200)]

Стандартизируем:

 \[ Z = \frac{2899.5 - 3000}{\sqrt{1200}} = \frac{-100.5}{34.641} \approx -2.9 \] 

Теперь находим вероятность:

 \[ P(X \geq 2900) \approx P(Z \geq -2.9) = 1 - P(Z < -2.9) \] 

Из таблицы стандартного нормального распределения:

[P(Z < -2.9) \approx 0.0019]

Следовательно:

 \[ P(X \geq 2900) \approx 1 - 0.0019 = 0.9981 \] 

б) Найти [P(2850 \leq X \leq 3100)]

Применяем правило непрерывности:

 \[ P(2850 \leq X \leq 3100) \approx P(2849.5 \leq Y \leq 3100.5) \] 

Стандартизируем границы:

• Левая граница:  \[ Z_1 = \frac{2849.5 - 3000}{34.641} \approx \frac{-150.5}{34.641} \approx -4.345 \] 

• Правая граница:  \[ Z_2 = \frac{3100.5 - 3000}{34.641} \approx \frac{100.5}{34.641} \approx 2.9 \] 

Находим вероятность:

 \[ P(-4.345 \leq Z \leq 2.9) = P(Z \leq 2.9) - P(Z \leq -4.345) \] 

• [P(Z \leq 2.9) \approx 0.9981]
• [P(Z \leq -4.345) \approx 0] (очень малая вероятность)

Итак:

 \[ P(2850 \leq X \leq 3100) \approx 0.9981 - 0 = 0.9981 \] 

Ответ:

а) [P(X \geq 2900) \approx 0.9981]
б) [P(2850 \leq X \leq 3100) \approx 0.9981]