Найти вероятность того, что площадь этой рамки не превышает 21 см2

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Геометрическая вероятность

Условие задачи:

Кусок проволоки длиной 20 см сгибается случайным образом в точке (точка сгиба равномерно распределена). После этого проволоку перегибают еще в двух местах, чтобы получилась прямоугольная рамка. Требуется найти вероятность того, что площадь этой рамки не превышает 21 см².

Решение:

1. Обозначения и условия: Пусть точка первого сгиба делит проволоку на две части длиной [x] и [20 - x], где [x] — случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0 \leq x \leq 20].
   Затем каждая из этих частей делится на две равные части, чтобы образовать стороны прямоугольника:

   • Первая часть длиной [x] делится на [a = \frac{x}{2}] и [a].
   • Вторая часть длиной [20 - x] делится на [b = \frac{20 - x}{2}] и [b].

2. Таким образом, стороны прямоугольника:

   • [a = \frac{x}{2}],
   • [b = \frac{20 - x}{2}].

3. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника равна:  S = a \cdot b = \frac{x}{2} \cdot \frac{20 - x}{2} = \frac{x (20 - x)}{4}. 

4. Условие на площадь: Нам нужно, чтобы площадь прямоугольника не превышала 21 см²:  \frac{x (20 - x)}{4} \leq 21.  Умножим обе части неравенства на 4:  x (20 - x) \leq 84.  Раскроем скобки:  20x - x^2 \leq 84.  Перенесем все в одну сторону:  x^2 - 20x + 84 \geq 0. 

5. Решение квадратного неравенства: Решим соответствующее квадратное уравнение:  x^2 - 20x + 84 = 0.  Найдем дискриминант:  D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64.  Найдем корни:  x_{1,2} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 8}{2}.  Тогда:  x_1 = \frac{20 - 8}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{20 + 8}{2} = 14. 

   Неравенство [x^2 - 20x + 84 \geq 0] выполняется для [x \leq 6] и [x \geq 14].

6. Интервал допустимых значений: Поскольку [x] лежит в интервале [0 \leq x \leq 20], нас интересует только часть [x \leq 6].

7. Вероятность: Длина интервала, где выполняется условие, равна:  |6 - 0| = 6.  Общая длина интервала возможных значений [x] равна:  |20 - 0| = 20.  Вероятность:  P = \frac{6}{20} = 0.3. 

Ответ:

Вероятность того, что площадь рамки не превышает 21 см², равна [0.3], или 30%.