Условие:
Два равных противника играют матч из n партий в теннис. Каждая партия заканчивается выигрышем, либо проигрышем одного из участников. Всеисходы данного матча равновероятны. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет равно m партий ().
Решение:
Давайте разберем ваше задание. Это задача по теории вероятностей, относящаяся к разделу комбинаторики и вероятностей.
Условие задачи:
- Два равных по силе игрока играют \( n \) партий в теннис.
- Каждая партия может закончиться либо выигрышем, либо проигрышем одного из игроков.
- Все исходы данной партии равновероятны.
- Нужно найти вероятность того, что первый игрок выиграет \( m \) партий.
Решение:
- Обозначение и понимание задач:
- \( n \) — общее количество партий.
- \( m \) — количество партий, которые выиграет первый игрок.
- Вероятность выигрыша одной партии для любого из игроков равна \( \frac{1}{2} \).
- Использование биномиального распределения: Вероятность того, что первый игрок выиграет ровно \( m \) из \( n \) партий, можно найти с использованием биномиального распределения. Формула биномиального распределения:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность, что произойдет ровно \( k \) успешных исходов.
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.
- \( k \) — количество успешных исходов.
В нашем случае:
- \( p = \frac{1}{2} \)
- \( k = m \)
- \( n = n \)
Подставим эти значения в формулу биномиального распределения: \[
P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-m}
\]
- Упростим формулу: Поскольку \(\left(\frac{1}{2}\right)^m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-m} = \left(\frac{1}{2}\right)^n\), у нас получается: \[
P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
\]
- Вычисление биномиального коэффициента \( \binom{n}{m} \):
\[
\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
- Итоговая формула: Объединив все части, получаем итоговую формулу для вероятности того, что первый игрок выиграет ровно \( m \) партий из \( n \):
\[
P(X = m) = \frac{n!}{m!(n-m)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
\]
Пример вычисления
Допустим,
\( n = 5 \) и
\( m = 3 \).
- Вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]
- Подставим значения в итоговую формулу: \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]
Ответ: Вероятность того, что первый игрок выиграет ровно 3 из 5 партий, равна \(\frac{5}{16}\).