Найти вероятность того, что первый игрок выиграет равно m партий

Давайте разберем ваше задание. Это задача по теории вероятностей, относящаяся к разделу комбинаторики и вероятностей.

Условие задачи:

• Два равных по силе игрока играют $\text{(}n\text{)}$ партий в теннис.
• Каждая партия может закончиться либо выигрышем, либо проигрышем одного из игроков.
• Все исходы данной партии равновероятны.
• Нужно найти вероятность того, что первый игрок выиграет $\text{(}m\text{)}$ партий.

Решение:

1. Обозначение и понимание задач:
   • $\text{(}n\text{)}$ — общее количество партий.
   • $\text{(}m\text{)}$ — количество партий, которые выиграет первый игрок.
   • Вероятность выигрыша одной партии для любого из игроков равна $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$.
2. Использование биномиального распределения: Вероятность того, что первый игрок выиграет ровно $\text{(}m\text{)}$ из $\text{(}n\text{)}$ партий, можно найти с использованием биномиального распределения. Формула биномиального распределения: $\text{[}P(X=k)=C(n,k)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}\text{]}$ где:
   • $\text{(}P(X=k)\text{)}$ — вероятность, что произойдет ровно $\text{(}k\text{)}$ успешных исходов.
   • $\text{(}C(n,k)\text{)}$ — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как $\text{(}\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{)}$.
   • $\text{(}p\text{)}$ — вероятность успеха в одном испытании.
   • $\text{(}k\text{)}$ — количество успешных исходов.
   В нашем случае:
   • $\text{(}p=\frac{1}{2}\text{)}$
   • $\text{(}k=m\text{)}$
   • $\text{(}n=n\text{)}$
   Подставим эти значения в формулу биномиального распределения: $\text{[}P(X=m)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^m\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-m}\text{]}$
3. Упростим формулу: Поскольку $\text{(}{\left(\frac{1}{2}\right)}^m\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-m}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{)}$, у нас получается: $\text{[}P(X=m)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{]}$
4. Вычисление биномиального коэффициента $\text{(}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\text{)}$: $\text{[}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}\text{]}$
5. Итоговая формула: Объединив все части, получаем итоговую формулу для вероятности того, что первый игрок выиграет ровно $\text{(}m\text{)}$ партий из $\text{(}n\text{)}$: $\text{[}P(X=m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{]}$

Пример вычисления

1. Вычислим биномиальный коэффициент: $\text{[}(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{6\cdot 2}=10\text{]}$
2. Подставим значения в итоговую формулу: $\text{[}P(X=3)=10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}\text{]}$

Ответ: Вероятность того, что первый игрок выиграет ровно 3 из 5 партий, равна $\text{(}\frac{5}{16}\text{)}$.