найти вероятность того, что партия будет принята

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное распределение, приближение нормальным распределением

Условие задачи:

Цех выпускает 96% продукции высшего сорта, то есть вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется высшего сорта, равна:

p = 0.96,
тогда вероятность того, что изделие окажется не высшего сорта:
q = 1 - p = 0.04

Проверяется n = 200 изделий.
Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то партия бракуется.
Следовательно, партия будет принята, если дефектных изделий ≤ 10.

Решение:

Пусть случайная величина X — число изделий не высшего сорта среди 200.
X распределена по биномиальному закону:

X \sim \text{Bin}(n = 200, q = 0.04)

Требуется найти вероятность того, что партия будет принята, то есть:

P(X \leq 10)

Так как n достаточно велико, используем приближение нормальным распределением:

Параметры нормального распределения:

\mu = n \cdot q = 200 \cdot 0.04 = 8
\sigma = \sqrt{n \cdot q \cdot (1 - q)} = \sqrt{200 \cdot 0.04 \cdot 0.96} \approx \sqrt{7.68} \approx 2.77

Применим непрерывную поправку:
Найдем P(X \leq 10) как P(Y \leq 10.5),
где Y — нормальная случайная величина с параметрами \mu = 8, \sigma = 2.77.

Стандартизируем:

Z = \frac{10.5 - 8}{2.77} \approx \frac{2.5}{2.77} \approx 0.90

Теперь находим P(Z \leq 0.90).
По таблице стандартного нормального распределения:

P(Z \leq 0.90) \approx 0.8159

Ответ:
Вероятность того, что партия будет принята:
\boxed{0.816} (округлено до трёх знаков после запятой).