Найти вероятность того, что ошибочно укомплектовано хотя бы два пакета

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Распределения случайных величин (приближение биномиального распределения распределением Пуассона)

Условие:

В банк отправлено 3000 пакетов с деньгами. Вероятность ошибочной комплектации одного пакета равна 0,001. Нужно найти вероятность того, что ошибочно укомплектовано хотя бы два пакета.

Шаг 1: Определим тип распределения

Пусть случайная величина [X] — число ошибочно укомплектованных пакетов среди 3000.
Тогда [X] — биномиальная случайная величина с параметрами:

• число испытаний [n = 3000],
• вероятность успеха (ошибки) [p = 0{,}001].

Так как [n] велико, а [p] мало, то биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона с параметром:

[\lambda = np = 3000 \cdot 0{,}001 = 3]

Шаг 2: Требуется найти

Найти вероятность того, что ошибочно укомплектовано хотя бы два пакета:

[P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)]

Шаг 3: Используем формулы Пуассона

Формула вероятности для распределения Пуассона:

[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}]

Подставим [\lambda = 3]:

• [P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3}]
• [P(X = 1) = \frac{3^1 e^{-3}}{1!} = 3e^{-3}]

Тогда:

 \begin{align*} P(X \geq 2) &= 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \ &= 1 - e^{-3} - 3e^{-3} \ &= 1 - 4e^{-3} \end{align*} 

Шаг 4: Подставим численное значение

[e^{-3} \approx 0{,}0498]
Тогда:

 P(X \geq 2) = 1 - 4 \cdot 0{,}0498 = 1 - 0{,}1992 = 0{,}8008 

Ответ:

\boxed{P(X \geq 2) \approx 0{,}8008} — вероятность того, что ошибочно укомплектовано хотя бы два пакета.