Найти вероятность того, что он выиграет хотя бы 30 рублей

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний Бернулли, биномиальное распределение вероятностей

Условие задачи:

• Каждый 200-й билет выигрывает 15 рублей.
• Человек покупает 100 билетов.
• Нужно найти вероятность того, что он выиграет хотя бы 30 рублей.

Шаг 1: Определим вероятности

Вероятность выигрыша одного билета:

p = \frac{1}{200}

Тогда вероятность проигрыша:

q = 1 - p = \frac{199}{200}

Шаг 2: Введём случайную величину

Пусть X — количество выигрышных билетов из 100.

Тогда X \sim \text{Bin}(n=100, p=\frac{1}{200})

Каждый выигрыш приносит 15 рублей, значит, чтобы выиграть хотя бы 30 рублей, нужно хотя бы 2 выигрыша:

15 \cdot X \geq 30 \Rightarrow X \geq 2

Требуется найти:

P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

Шаг 3: Используем биномиальное распределение

Формула биномиального распределения:

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Подставим значения:

• n = 100
• p = \frac{1}{200}
• q = \frac{199}{200}

Вычислим:

1. P(X = 0) = C_{100}^0 \cdot \left(\frac{1}{200}\right)^0 \cdot \left(\frac{199}{200}\right)^{100} = \left(\frac{199}{200}\right)^{100}

2. P(X = 1) = C_{100}^1 \cdot \left(\frac{1}{200}\right)^1 \cdot \left(\frac{199}{200}\right)^{99} = 100 \cdot \frac{1}{200} \cdot \left(\frac{199}{200}\right)^{99}

Шаг 4: Приблизим значения

Поскольку \left(\frac{199}{200}\right)^{100} \approx e^{-100 \cdot \frac{1}{200}} = e^{-0.5} \approx 0.6065

Аналогично:

P(X = 0) \approx 0.6065

P(X = 1) \approx 100 \cdot \frac{1}{200} \cdot e^{-0.495} = 0.5 \cdot e^{-0.495} \approx 0.5 \cdot 0.6097 \approx 0.3048

Шаг 5: Найдём вероятность хотя бы двух выигрышей

P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0.6065 - 0.3048 = 0.0887

Ответ:

Вероятность того, что человек выиграет хотя бы 30 рублей, купив 100 билетов, составляет примерно:

\boxed{0.0887} или \boxed{8.87\%}