Найти вероятность того, что одному из пароходов придётся ждать, т.е. их интервалы стоянки пересекутся

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Геометрическая вероятность

Условие задачи:

Два парохода независимо приходят к одному причалу в течение суток (24 часа).
Первый пароход стоит у причала 3 часа.
Второй пароход стоит у причала 2.5 часа.
Нужно найти вероятность того, что одному из пароходов придётся ждать, т.е. их интервалы стоянки пересекутся.

Обозначим:

Пусть:

• [x] — время прихода первого парохода (в часах от начала суток),
• [y] — время прихода второго парохода.

Оба времени равномерно распределены на отрезке [0, 24], и независимы.
Пароходы не могут стоять одновременно — если интервалы стоянки пересекаются, одному из них придётся ждать.
Значит, нас интересует вероятность того, что интервалы [x, x + 3] и [y, y + 2.5] пересекаются.

Геометрическая вероятность

Рассматриваем единичный квадрат [0 \le x \le 24, 0 \le y \le 24].

Обозначим событие [A] — интервалы стоянки не пересекаются, т.е. один пароход полностью уходит до прихода другого.

Это возможно в двух случаях:

1. Первый пароход уходит до прихода второго:
   [x + 3 \le y \Rightarrow y \ge x + 3]
2. Второй пароход уходит до прихода первого:
   [y + 2.5 \le x \Rightarrow x \ge y + 2.5]

Таким образом, событие [A] — это объединение двух областей:

• [y \ge x + 3]
• [x \ge y + 2.5]

Это две треугольные области вне полосы ширины 5.5 часов вдоль диагонали [x = y].

Найдём площадь этих областей

Полный квадрат:
[S_{\text{общ}} = 24 \times 24 = 576]

Теперь найдём площадь области, где интервалы не пересекаются, т.е. где один пароход уходит до прихода другого.

Область 1: [y \ge x + 3]

Нижняя граница: [x = 0], тогда [y \ge 3]
Верхняя граница: [x = 21], так как [x + 3 \le 24]

Тогда границы области:

• по [x]: от 0 до 21
• по [y]: от [x + 3] до 24

Площадь этой области:  \begin{align*} S_1 &= \int_{x=0}^{21} (24 - (x + 3)) \, dx = \int_{0}^{21} (21 - x) \, dx \ &= \left[21x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{21} = 21 \cdot 21 - \frac{21^2}{2} = 441 - 220.5 = 220.5 \end{align*} 

Область 2: [x \ge y + 2.5]

Аналогично:

• [y]: от 0 до 21.5 (так, чтобы [y + 2.5 \le 24])
• [x]: от [y + 2.5] до 24

Площадь:  \begin{align*} S_2 &= \int_{y=0}^{21.5} (24 - (y + 2.5)) \, dy = \int_0^{21.5} (21.5 - y) \, dy \ &= \left[21.5y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{21.5} = 21.5 \cdot 21.5 - \frac{(21.5)^2}{2} \ &= 462.25 - 231.125 = 231.125 \end{align*} 

Суммарная площадь, где стоянки не пересекаются:

[S_{\text{непересечения}} = S_1 + S_2 = 220.5 + 231.125 = 451.625]

Тогда вероятность того, что интервалы не пересекаются:

 P_{\text{непересечения}} = \frac{451.625}{576} \approx 0.784 

Значит, вероятность того, что одному из пароходов придётся ждать:

 P_{\text{ожидания}} = 1 - P_{\text{непересечения}} = 1 - 0.784 = 0.216 

Ответ:

Вероятность того, что одному из пароходов придётся ожидать освобождения причала:
\boxed{0.216} или \boxed{21.6\%}