Найти вероятность того, что обе детали будут бракованными

Предмет: Математика Раздел: Теория вероятностей

Мы имеем три партии деталей:

• Первая партия: 10 деталей, из них 2 бракованные.
• Вторая партия: 8 деталей, из них 2 бракованные.
• Третья партия: 5 деталей, из них 2 бракованные.

Давайте обозначим вероятности и события:

• \( P(A_i) \) - вероятность того, что рабочий выбирает \( i \)-ую партию, где \( i \) = 1, 2 или 3.
• \( P(B|A_i) \) - вероятность того, что обе детали будут бракованными, при условии, что выбрана \( i \)-ая партия.

Вероятность выбора любой партии из трех равна:

\[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \]

Теперь найдем \( P(B|A_i) \) для каждой партии.

Для первой партии:

Общее количество способов выбрать 2 детали из 10: \(\binom{10}{2}\)

\[ \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Количество способов выбрать 2 бракованные детали из 2:

\[ \binom{2}{2} = 1 \]

Следовательно, вероятность того, что обе детали будут бракованными из первой партии:

\[ P(B|A_1) = \frac{1}{45} \]

Для второй партии:

Общее количество способов выбрать 2 детали из 8: \(\binom{8}{2}\)

\[ \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

Количество способов выбрать 2 бракованные детали из 2:

\[ \binom{2}{2} = 1 \]

Следовательно, вероятность того, что обе детали будут бракованными из второй партии:

\[ P(B|A_2) = \frac{1}{28} \]

Для третьей партии:

Общее количество способов выбрать 2 детали из 5: \(\binom{5}{2}\)

\[ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Количество способов выбрать 2 бракованные детали из 2:

\[ \binom{2}{2} = 1 \]

Следовательно, вероятность того, что обе детали будут бракованными из третьей партии:

\[ P(B|A_3) = \frac{1}{10} \]

Теперь найдем общую вероятность \( P(B) \) того, что обе детали будут бракованными:

\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3) \]

Подставим известные значения:

\[ P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{45} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{28} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{10} \]

Посчитаем каждое слагаемое:

\[ \frac{1}{3} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{135} \]

\[ \frac{1}{3} \times \frac{1}{28} = \frac{1}{84} \]

\[ \frac{1}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{30} \]

Теперь сложим дроби. Приведем к общему знаменателю:

Общий знаменатель для \(\frac{1}{135}, \frac{1}{84}, \frac{1}{30}\) — это 1260.

Найдем соответствующие дроби:

\[ \frac{1}{135} = \frac{1260 / 135}{1260} = \frac{9}{1260} \]

\[ \frac{1}{84} = \frac{1260 / 84}{1260} = \frac{15}{1260} \]