Найти вероятность того, что наугад выбранный блондин — это женщина

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула Байеса

Условие задачи:

• 20% мужчин — блондины.
• 40% женщин — блондины.
• Количество мужчин и женщин одинаковое.
• Нужно найти вероятность того, что наугад выбранный блондин — это женщина.

Обозначения и данные:

Пусть:

• \( M \) — событие, что выбран мужчина.
• \( W \) — событие, что выбрана женщина.
• \( B \) — событие, что человек блондин.

Далее:

• \( P(M) = P(W) = 0.5 \) (так как мужчин и женщин поровну).
• \( P(B | M) = 0.2 \) — вероятность, что мужчина блондин.
• \( P(B | W) = 0.4 \) — вероятность, что женщина блондинка.

Нас интересует \( P(W | B) \), то есть вероятность того, что блондин — это женщина.

Решение:

Применим формулу Байеса для условной вероятности:

\[ P(W | B) = \frac{P(B | W) \cdot P(W)}{P(B)} \]

Где:

• \( P(B | W) \cdot P(W) \) — вероятность того, что выбрана женщина и она блондинка.
• \( P(B) \) — полная вероятность того, что выбранный человек блондин.

Для начала найдём полную вероятность \( P(B) \). Для этого используем формулу полной вероятности:

\[ P(B) = P(B | M) \cdot P(M) + P(B | W) \cdot P(W) \]

Подставляем известные значения:

\[ P(B) = 0.2 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.5 = 0.1 + 0.2 = 0.3 \]

Теперь найдём \( P(W | B) \):

\[ P(W | B) = \frac{P(B | W) \cdot P(W)}{P(B)} = \frac{0.4 \cdot 0.5}{0.3} = \frac{0.2}{0.3} \approx 0.6667 \]

Ответ:

Вероятность того, что выбранный блондин — это женщина, составляет примерно 0.6667 (или 66.67%).