Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одного размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.
Этот тип задачи относится к разделу математики, а именно вероятности, комбинаторики и стереометрии (геометрия в пространстве).
Разбор задачи и поиск решения
Начнем с того, что у нас есть куб с окрашенными гранями, который распилен на 1000 маленьких кубиков. Поскольку количество маленьких кубиков является кубом целого числа, мы можем определить, что исходный куб распилен на \(10 \times 10 \times 10\) кубиков. Таким образом каждое ребро большого куба содержит 10 маленьких кубиков.
Найдем количество различных кубиков по окрашенным граням:
- Кубики с тремя окрашенными гранями: Это кубики, которые находятся в вершинах большого куба. Так как у куба 8 вершин, таких кубиков будет: \[ 8 \]
- Кубики с двумя окрашенными гранями: Это кубики, которые находятся на ребрах большого куба, кроме вершин. Поскольку каждое ребро куба содержит 10 маленьких кубиков, и на этих рёбрах по две вершины (по одному кубику окрашено в три грани на каждой стороне), то остаётся \(10 - 2 = 8\) кубиков с двумя окрашенными гранями на каждом ребре. У большого куба 12 рёбер, следовательно: \[ 8 \times 12 = 96 \]
- Кубики с одной окрашенной гранью: Это кубики, которые находятся на гранях большого куба, но не на рёбрах. Каждая грань большого куба разделена на \(10 \times 10 = 100\) маленьких кубиков. Из них на ребрах расположены 36 кубиков (так как каждая грань имеет 10 ребер, с края поделённого квадрата по 4 раза считаем(1 раз уголкаждого по 2 квадрата)), остаются: \[ 10 \times 10 - 36 = 64 \text{ кубиков с одной окрашенной гранью на каждой грани} \] У большого куба 6 граней, следовательно: \[ 64 \times 6 = 384 \]
- Кубики без окрашенных граней: Это внутренние кубики большого куба. Образуют внутренний куб со сторонами 8: \[ 8 \times 8 \times 8 = 512 \]
Теперь находим вероятность для каждого случая:
Вероятность нахождения необходимого кубика равна отношению числа таких кубиков к общему числу маленьких кубиков, т.е., к 1000.
а) Вероятность того, что кубик будет с одной окрашенной гранью: \[ \frac{384}{1000} = 0,384 = 38,4\% \]
б) Вероятность того, что кубик будет с двумя окрашенными гранями: \[ \frac{96}{1000} = 0,096 = 9,6\% \]
в) Вероятность того, что кубик будет с тремя окрашенными гранями: \[ \frac{8}{1000} = 0,008 = 0,8\% \]
Заключение
Итак, вероятности того, что поднятый наугад кубик будет иметь - одну окрашенную грань: 38,4%; - две окрашенные грани: 9,6%; - три окрашенные грани: 0,8%.