Найти вероятность того, что на интервале 0, 2 произошло 2 события, на интервале1,4 произошло 3 события

Это задание относится к разделу теории вероятностей и стохастических процессов, а именно к пуассоновскому процессу, который является специфическим видом счета событий, происходящих случайно с определенной интенсивностью.

Дано:

• Пуассоновский процесс с интенсивностью \( \lambda \) (лямбда).
• Нужно найти вероятность того, что:
  • на интервале \( (0, 2] \) произошло 2 события,
  • на интервале \( (1,4] \) произошло 3 события.

1. Введение в пуассоновский процесс:

Пуассоновский процесс с интенсивностью \( \lambda \) описывает вероятность того, что на фиксированном интервале времени произойдет определённое количество событий. Вероятность того, что на интервале \( [t_1, t_2] \) произойдёт \( k \) событий, задаётся формулой распределения Пуассона:

\[ P(N(t_2) - N(t_1) = k) = \frac{(\lambda (t_2 - t_1))^k e^{-\lambda (t_2 - t_1)}}{k!} \]

где:

• \( N(t) \) — количество событий, произошедших к моменту времени \( t \),
• \( \lambda \) — интенсивность процесса, то есть среднее количество событий на единицу времени.

2. Решение:

Процессы на непересекающихся интервалах являются независимыми. Это значит, что количество событий на интервале \( (0,2] \) не зависит от количества событий на интервале \( (1,4] \), несмотря на их частичное пересечение.

Для интервала (0, 2]:

Продолжительность интервала: \( 2 - 0 = 2 \). Нам нужно, чтобы на этом интервале произошло 2 события. Вероятность, что на интервале длиной 2 произойдёт ровно 2 события, вычисляется по формуле Пуассона:

\[ P(N(2) - N(0) = 2) = \frac{(\lambda \cdot 2)^2 e^{-\lambda \cdot 2}}{2!} \]

Подставляем значения:

\[ P(N(2) - N(0) = 2) = \frac{4\lambda^2 e^{-2\lambda}}{2}. \]

Упрощаем:

\[ P(N(2) - N(0) = 2) = 2 \lambda^2 e^{-2\lambda}. \]

Для интервала (1, 4]:

Продолжительность интервала: \( 4 - 1 = 3 \). Требуется, чтобы на этом интервале произошло ровно 3 события. Используем ту же формулу Пуассона:

\[ P(N(4) - N(1) = 3) = \frac{(\lambda \cdot 3)^3 e^{-\lambda \cdot 3}}{3!} \]

Подставляем:

\[ P(N(4) - N(1) = 3) = \frac{27 \lambda^3 e^{-3\lambda}}{6}. \]

Упрощаем:

\[ P(N(4) - N(1) = 3) = 4.5 \lambda^3 e^{-3\lambda}. \]

3. Ответ:

Так как события на интервалах \( (0, 2] \) и \( (1, 4] \) независимы, общая вероятность того, что на интервале \( (0,2] \) произошли 2 события и на интервале \( (1,4] \) — 3 события, найдется как произведение вероятностей:

\[ P = P(N(2) - N(0) = 2) \cdot P(N(4) - N(1) = 3) \]

Пусть сначала запишем это в общем виде:

\[ P = \left( 2 \lambda^2 e^{-2\lambda} \right) \cdot \left( 4.5 \lambda^3 e^{-3\lambda} \right) \]

\[ P = 9 \lambda^5 e^{-5\lambda}. \]

Окончательный ответ:

Вероятность того, что на интервале \( (0, 2] \) произошло 2 события, а на интервале \( (1, 4] \) — 3 события, равна:

\[ P = 9 \lambda^5 e^{-5\lambda}. \]

Упрощаем выражение: