Найти вероятность того, что клиенты не вернут кредит, что само по себе редкое событие (всего 5% невозвратов)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Закон Пуассона.

Введение в задачу:

Задачу можно решать с помощью распределения Пуассона, так как выполняются следующие условия:

• События редкие. Мы рассматриваем вероятность того, что клиенты не вернут кредит, что само по себе редкое событие (всего 5% невозвратов).
• Потребляется некоторый длительный промежуток времени (или большой объем данных, в данном случае - 1000 кредитов) для наблюдения редких событий (невозврата).

Шаг 1: Анализ задачи

Пусть $\text{(}N=1000\text{)}$ – общее количество выданных кредитов, и вероятность невозврата одного кредита $\text{(}p=0.05\text{)}$.

Теперь вычислим математическое ожидание числа невозвратов:

$\text{[}\lambda =N\cdot p=1000\times 0.05=50\text{]}$

Обозначение: $\text{(}\lambda \text{)}$ – среднее количество невозвратов по формуле Пуассона. Значит, мы ожидаем, что примерно 50 кредитов не будут возвращены.

Нам нужно найти вероятность того, что проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях. Это можно выразить как:

$\text{[}P(X\ge 2)\text{]}$

Шаг 2: Использование формулы Пуассона

Формула для распределения Пуассона представляет собой следующую модель вероятности:

$\text{[}P(X=k)=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}\text{]}$

Где:

• $\text{(}X\text{)}$ – случайная величина (в данном случае количество невозвратов),
• $\text{(}\lambda \text{)}$ – среднее количество событий (уже вычислено как 50),
• $\text{(}e\approx 2.718\text{)}$ – основание натурального логарифма,
• $\text{(}k\text{)}$ – конкретное количество невозвратов,
• $\text{(}k!\text{)}$ – факториал числа $\text{(}k\text{)}$.

Шаг 3: Нахождение вероятности $\text{(}P(X\ge 2)\text{)}$

Нас интересует вероятность того, что число невозвратов не менее 2, то есть $\text{(}P(X\ge 2)\text{)}$. Чтобы найти такую вероятность, мы воспользуемся распределением Пуассона. Предположим, что проще будет вычислить противоположную вероятность $\text{(}P(X<2)\text{)}$, то есть вероятность того, что произошел либо 0, либо 1 невозврат, и вычтем её из 1.

$\text{[}P(X\ge 2)=1-P(X<2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\text{]}$

Теперь найдем каждый из этих элементов:

1. Вероятность того, что не будет ни одного невозврата $\text{(}P(X=0)\text{)}$:

   $\text{[}P(X=0)=\frac{{\lambda }^0\cdot e^{-\lambda }}{0!}=\frac{{50}^0\cdot e^{-50}}{1}=e^{-50}\text{]}$

   $\text{[}P(X=0)\approx e^{-50}\approx 1.92874\cdot {10}^{-22}\text{]}$ (это очень малое число, практически нулевое).

2. Вероятность того, что будет ровно один невозврат $\text{(}P(X=1)\text{)}$:

   $\text{[}P(X=1)=\frac{{\lambda }^1\cdot e^{-\lambda }}{1!}=\frac{{50}^1\cdot e^{-50}}{1}\text{]}$

   $\text{[}P(X=1)=50\cdot e^{-50}\approx 50\cdot 1.92874\cdot {10}^{-22}=9.6437\cdot {10}^{-21}\text{]}$

Шаг 4: Общая вероятность

Теперь можем вернуться к основной формуле:

$\text{[}P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\approx 1-(1.92874\cdot {10}^{-22}+9.6437\cdot {10}^{-21})\text{]}$

Так как оба значения настолько малы, что ими можно пренебречь:

$\text{[}P(X\ge 2)\approx 1\text{]}$

Вывод:

Вероятность того, что при выдаче банком 1000 кредитов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях, примерно равна 1, то есть гарантирована с очень высокой степенью уверенности.