Найти вероятность того, что клиенты не вернут кредит, что само по себе редкое событие (всего 5% невозвратов)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Закон Пуассона.

Введение в задачу:

Задачу можно решать с помощью распределения Пуассона, так как выполняются следующие условия:

• События редкие. Мы рассматриваем вероятность того, что клиенты не вернут кредит, что само по себе редкое событие (всего 5% невозвратов).
• Потребляется некоторый длительный промежуток времени (или большой объем данных, в данном случае - 1000 кредитов) для наблюдения редких событий (невозврата).

Шаг 1: Анализ задачи

Пусть \( N = 1000 \) – общее количество выданных кредитов, и вероятность невозврата одного кредита \( p = 0.05 \).

Теперь вычислим математическое ожидание числа невозвратов:

\[ \lambda = N \cdot p = 1000 \times 0.05 = 50 \]

Обозначение: \( \lambda \) – среднее количество невозвратов по формуле Пуассона. Значит, мы ожидаем, что примерно 50 кредитов не будут возвращены.

Нам нужно найти вероятность того, что проблемы с возвратом возникнут не менее чем в двух случаях. Это можно выразить как:

\[ P(X \geq 2) \]

Шаг 2: Использование формулы Пуассона

Формула для распределения Пуассона представляет собой следующую модель вероятности:

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} \]

Где:

• \( X \) – случайная величина (в данном случае количество невозвратов),
• \( \lambda \) – среднее количество событий (уже вычислено как 50),
• \( e \approx 2.718 \) – основание натурального логарифма,
• \( k \) – конкретное количество невозвратов,
• \( k! \) – факториал числа \( k \).

Шаг 3: Нахождение вероятности \( P(X \geq 2) \)

Нас интересует вероятность того, что число невозвратов не менее 2, то есть \( P(X \geq 2) \). Чтобы найти такую вероятность, мы воспользуемся распределением Пуассона. Предположим, что проще будет вычислить противоположную вероятность \( P(X < 2) \), то есть вероятность того, что произошел либо 0, либо 1 невозврат, и вычтем её из 1.

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \]

Теперь найдем каждый из этих элементов:

1. Вероятность того, что не будет ни одного невозврата \( P(X = 0) \):

   \[ P(X = 0) = \frac{\lambda^0 \cdot e^{-\lambda}}{0!} = \frac{50^0 \cdot e^{-50}}{1} = e^{-50} \]

   \[ P(X = 0) \approx e^{-50} \approx 1.92874 \cdot 10^{-22} \] (это очень малое число, практически нулевое).

2. Вероятность того, что будет ровно один невозврат \( P(X = 1) \):

   \[ P(X = 1) = \frac{\lambda^1 \cdot e^{-\lambda}}{1!} = \frac{50^1 \cdot e^{-50}}{1} \]

   \[ P(X = 1) = 50 \cdot e^{-50} \approx 50 \cdot 1.92874 \cdot 10^{-22} = 9.6437 \cdot 10^{-21} \]

Шаг 4: Общая вероятность

Теперь можем вернуться к основной формуле:

\[ P(X \geq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \approx 1 - (1.92874 \cdot 10^{-22} + 9.6437 \cdot 10^{-21}) \]

Так как оба значения настолько малы, что ими можно пренебречь:

\[ P(X \geq 2) \approx 1 \]

Вывод:

Вероятность того, что при выдаче банком 1000 кредитов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях, примерно равна 1, то есть гарантирована с очень высокой степенью уверенности.