Найти: вероятность того, что кабан был убит третьим охотником, при условии, что кабан убит одной пулей

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Условная вероятность, формула Байеса

Задача:

Дано:

• Три охотника одновременно стреляют по кабану.
• Кабан убит одной пулей.
• Вероятности попадания для охотников:
  • Первый охотник: [p_1 = 0{,}6]
  • Второй охотник: [p_2 = 0{,}7]
  • Третий охотник: [p_3 = 0{,}8]

Найти: вероятность того, что кабан был убит третьим охотником, при условии, что кабан убит одной пулей.

Решение:

Обозначим события:

• [A_1] — кабан убит первым охотником
• [A_2] — кабан убит вторым охотником
• [A_3] — кабан убит третьим охотником
• [B] — кабан убит одной пулей

Нам нужно найти условную вероятность:  P(A_3 \mid B) 

По формуле Байеса:  P(A_3 \mid B) = \frac{P(B \mid A_3) \cdot P(A_3)}{P(B)} 

1. Вероятности попадания:

• [P_1 = 0{,}6]
• [P_2 = 0{,}7]
• [P_3 = 0{,}8]

2. Вероятность того, что кабан убит третьим охотником (то есть только он попал, остальные промахнулись):

 P(B \mid A_3) = P_3 \cdot (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) = 0{,}8 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}096 

Аналогично считаем:

• [P(B \mid A_1) = P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}036]
• [P(B \mid A_2) = P_2 \cdot (1 - P_1) \cdot (1 - P_3) = 0{,}7 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}056]

3. Предположим, что изначально вероятность того, что кабан убит каждым из охотников одинакова (т.е. нет предпочтений), тогда:

 P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} 

4. Полная вероятность события [B] (кабан убит одной пулей):

 P(B) = P(B \mid A_1) \cdot P(A_1) + P(B \mid A_2) \cdot P(A_2) + P(B \mid A_3) \cdot P(A_3) 

 P(B) = 0{,}036 \cdot \frac{1}{3} + 0{,}056 \cdot \frac{1}{3} + 0{,}096 \cdot \frac{1}{3} = \frac{0{,}036 + 0{,}056 + 0{,}096}{3} = \frac{0{,}188}{3} \approx 0{,}06267 

5. Теперь подставим в формулу Байеса:

 P(A_3 \mid B) = \frac{0{,}096 \cdot \frac{1}{3}}{0{,}06267} = \frac{0{,}032}{0{,}06267} \approx 0{,}511 

Ответ:

[P(A_3 \mid B) \approx 0{,}511] — вероятность того, что кабан был убит третьим охотником.