Найти вероятность того, что извлеченный из третьей урны шар окажется белым

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Формула полной вероятности

Решение:

Обозначим события:

• ( A_1 ) — из первой урны извлечен черный шар.
• ( A_2 ) — из первой урны извлечен белый шар.
• ( B_1 ) — из второй урны извлечен черный шар.
• ( B_2 ) — из второй урны извлечен белый шар.

Каждая урна изначально содержит 6 черных и 4 белых шара, то есть вероятность достать черный шар из первой урны:

P(A_1) = \frac{6}{10} = 0.6
P(A_2) = \frac{4}{10} = 0.4

Если вторая урна получила черный шар, то теперь в ней 7 черных и 4 белых шара, и вероятность достать черный шар:

P(B_1 | A_1) = \frac{7}{11}, \quad P(B_2 | A_1) = \frac{4}{11}

Если вторая урна получила белый шар, то теперь в ней 6 черных и 5 белых, и вероятность достать черный шар:

P(B_1 | A_2) = \frac{6}{11}, \quad P(B_2 | A_2) = \frac{5}{11}

Теперь рассмотрим вероятность того, что в третью урну попал черный или белый шар:

P(C_1) = P(A_1) P(B_1 | A_1) + P(A_2) P(B_1 | A_2)

P(C_1) = 0.6 \cdot \frac{7}{11} + 0.4 \cdot \frac{6}{11} = \frac{42}{110} + \frac{24}{110} = \frac{66}{110} = \frac{33}{55}

P(C_2) = P(A_1) P(B_2 | A_1) + P(A_2) P(B_2 | A_2)

P(C_2) = 0.6 \cdot \frac{4}{11} + 0.4 \cdot \frac{5}{11} = \frac{24}{110} + \frac{20}{110} = \frac{44}{110} = \frac{22}{55}

Теперь вероятность извлечь белый шар из третьей урны:

• Если в урну попал черный шар, то вероятность достать белый — \frac{4}{11}.
• Если в урну попал белый шар, то вероятность достать белый — \frac{5}{11}.

Используем формулу полной вероятности:

P(W) = P(C_1) \cdot \frac{4}{11} + P(C_2) \cdot \frac{5}{11}

P(W) = \frac{33}{55} \cdot \frac{4}{11} + \frac{22}{55} \cdot \frac{5}{11}

P(W) = \frac{132}{605} + \frac{110}{605} = \frac{242}{605} \approx 0.4

Ответ: Вероятность того, что извлеченный из третьей урны шар окажется белым, равна 0.4 или ( \frac{242}{605} ).