Найти вероятность того, что из трех взятых наугад учебников хотя бы один окажется в переплете

Это задача по комбинаторике из предмета "Теория вероятностей и математическая статистика". Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Общее количество способов выбрать 3 учебника из 15: Количество способов выбрать 3 учебника из общего множества 15 можно найти с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n = 15 \) и \( k = 3 \).

\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} \]

Сократим факториалы:

\[ \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3! \times 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2730}{6} = 455 \]

Таким образом, общее количество способов выбрать 3 учебника из 15 равно 455.

2. Количество способов выбрать 3 учебника без переплета из 10: Количество способов выбрать 3 учебника из 10 (без переплета) также можно найти с помощью формулы сочетаний:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} \]

Сократим факториалы:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \]

Таким образом, количество способов выбрать 3 учебника без переплета из 10 равно 120.

3. Количество способов выбрать хотя бы один учебник в переплете: Теперь найдем количество способов выбрать хотя бы один учебник в переплете. Для этого вычтем количество способов выбрать 3 учебника без переплета из общего количества способов выбрать 3 учебника:

\[ N_{\text{хотя бы один в переплете}} = 455 - 120 = 335 \]

4. Вероятность того, что хотя бы один учебник окажется в переплете: Вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

\[ P = \frac{N_{\text{хотя бы один в переплете}}}{N_{\text{общее}}} = \frac{335}{455} \]

Сократим эту дробь:

\[ \frac{335}{455} = \frac{67}{91} \]

Таким образом, вероятность того, что из трех взятых наугад учебников хотя бы один окажется в переплете, равна \( \frac{67}{91} \).