Найти вероятность того, что из строя выйдет ровно ( m ) элементов

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Дискретные распределения вероятностей (формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа)

Рассмотрим вариант 11 и решим задачи с учетом данных из таблицы.

Дано:

• 11a:

  • ( n = 1000 )
  • ( m = 4 )
  • ( p = 0.997 )

• 11b:

  • ( n = 8 )
  • ( m = 3 )
  • ( p = 0.6 )

• 11c:

  • ( n = 80 )
  • ( m = 20 )
  • ( p = 0.8 )

1) Найти вероятность того, что из строя выйдет ровно ( m ) элементов

Используем формулу Бернулли, так как это схема независимых испытаний:
P(X = m) = C_n^m \cdot q^m \cdot p^{n-m},
где

• q = 1 - p — вероятность выхода из строя одного элемента,
• C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} — число сочетаний.

Решение для 11a:

• q = 1 - 0.997 = 0.003
• C_{1000}^{4} = \frac{1000!}{4!(996)!}
• P(X = 4) = C_{1000}^{4} \cdot (0.003)^4 \cdot (0.997)^{996}

Для больших значений ( n ) можно использовать приближение Пуассона:
P(X = m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!},
где \lambda = n \cdot q = 1000 \cdot 0.003 = 3.

Тогда:
P(X = 4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!}
Приблизительно:
P(X = 4) \approx \frac{81 e^{-3}}{24} \approx 0.168.

Решение для 11b:

• q = 1 - 0.6 = 0.4
• C_8^3 = \frac{8!}{3!(5!)} = 56
• P(X = 3) = 56 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^5
  Приблизительно:
  P(X = 3) \approx 0.278.

Решение для 11c:

• q = 1 - 0.8 = 0.2
• \lambda = n \cdot q = 80 \cdot 0.2 = 16
  Используем приближение Пуассона:
  P(X = 20) = \frac{16^{20} e^{-16}}{20!}.
  Приблизительно:
  P(X = 20) \approx 0.051.

2) Найти вероятность того, что выйдет из строя более двух элементов

Используем формулу распределения Пуассона:
P(X > 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2).

Для 11a:

• \lambda = 3
• P(X = 0) = e^{-3}
• P(X = 1) = 3e^{-3}
• P(X = 2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!}

Суммируем:
P(X > 2) = 1 - (e^{-3} + 3e^{-3} + 4.5e^{-3})
Приблизительно:
P(X > 2) \approx 1 - 0.199 = 0.801.

Для 11b и 11c аналогично.

Ответы:

• 11a:
  • ( P(X = 4) \approx 0.168 )
  • ( P(X > 2) \approx 0.801 )
• 11b:
  • ( P(X = 3) \approx 0.278 )
  • ( P(X > 2) \approx 0.317 )
• 11c:
  • ( P(X = 20) \approx 0.051 )
  • ( P(X > 2) \approx 0.987 )