Найти вероятность того, что из шести телевизоров не более одного потребует гарантийного ремонта

Давайте сначала определим предмет и раздел предмета этого задания.

Это задание относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Теория вероятностей". Теперь перейдем к решению задачи.

У нас есть вероятность \( p \), что один телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равная 0.2. Нужно найти вероятность того, что из шести телевизоров не более одного потребует гарантийного ремонта. В данном случае мы имеем дело с биномиальным распределением, так как имеем фиксированное количество испытаний (6 телевизоров), два исхода (телевизоры требуют ремонта или нет), и вероятность успеха в каждом испытании постоянна (0.2).

Формула биномиального распределения для вероятности получения \( k \) успешных исходов (потребовавших ремонта телевизоров) из \( n \) испытаний (всех телевизоров) выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \] где:

• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент "из \( n \) по \( k \)",
• \( p \) — вероятность успеха (0.2),
• \( n \) — общее количество испытаний (6),
• \( k \) — количество успешных исходов.

Нам необходимо найти вероятность того, что из шести телевизоров не более одного потребует ремонта, то есть \( P(X \leq 1) \). Это можно записать как сумму вероятностей: \( P(X = 0) + P(X = 1) \).

Найдем \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = \binom{6}{0} (0.2)^0 (0.8)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.8)^6 = 0.8^6. \]

Вычислим \( 0.8^6 \): \[ 0.8^6 ≈ 0.262144. \]

Теперь найдем \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = \binom{6}{1} (0.2)^1 (0.8)^5 = 6 \cdot 0.2 \cdot 0.8^5. \]

Вычислим \( 0.8^5 \): \[ 0.8^5 ≈ 0.32768. \]

Тогда \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = 6 \cdot 0.2 \cdot 0.32768 = 6 \cdot 0.065536 = 0.393216. \]

Теперь сложим эти вероятности: \[ P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.262144 + 0.393216 = 0.65536. \]

Ответ: Вероятность того, что из шести телевизоров не более одного потребует гарантийного ремонта, равна \( 0.65536 \) или приблизительно 65.54%.