Найти вероятность того, что из 9 лотерейных билетов с вероятностью выигрыша для одного билета выигрыш окажется не более чем по двум билетам

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Схема Бернулли и дискретные случайные величины

Задание:

Найти вероятность того, что из 9 лотерейных билетов с вероятностью выигрыша для одного билета \( p = \frac{1}{7} \), выигрыш окажется не более чем по двум билетам.

Решение:

Давайте пошагово разберемся с задачей:

1. Определим используемую модель:

Эта задача решается через схему Бернулли, где:

• \( n = 9 \) (общее число испытаний — количество билетов);
• \( p = \frac{1}{7} \) (вероятность успешного исхода — выигрыш по одному билету);
• \( q = 1 - p = \frac{6}{7} \) (вероятность провала — проигрыш по одному билету);
• \( X \) — случайная величина, равная числу выигрышных билетов (число успехов).

Формула вероятности для схемы Бернулли:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \]

где \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \):

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

2. Задача требует, чтобы выигрыш был не больше, чем по двум билетам:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). \]

3. Подсчитаем каждую из вероятностей:

(а) Для \( X = 0 \):

\[ P(X = 0) = C_9^0 \cdot p^0 \cdot q^9 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^9. \]

Посчитаем численно:

\[ P(X = 0) = \left(\frac{6}{7}\right)^9 \approx 0.1944. \]

(б) Для \( X = 1 \):

\[ P(X = 1) = C_9^1 \cdot p^1 \cdot q^8 = 9 \cdot \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^8. \]

Посчитаем численно:

\[ P(X = 1) = 9 \cdot \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^8 \approx 9 \cdot 0.142857 \cdot 0.2330 \approx 0.2988. \]

(в) Для \( X = 2 \):

\[ P(X = 2) = C_9^2 \cdot p^2 \cdot q^7 = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^7. \]

Посчитаем численно:

\[ P(X = 2) = 36 \cdot \frac{1}{49} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^7 \approx 36 \cdot 0.02041 \cdot 0.2786 \approx 0.2044. \]

4. Сложим результаты:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). \]

\[ P(X \leq 2) \approx 0.1944 + 0.2988 + 0.2044 = 0.6976. \]

Ответ:

Вероятность того, что лицо не выиграет более чем по двум билетам, составляет примерно 0.698 или 69.8%.

Подставим: