Найти вероятность того, что из 211 операций не менее 97 выполнены без нарушений

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схема Бернулли, предельные теоремы (интегральная теорема Лапласа)

Условие задачи:

Вероятность того, что финансовая операция будет выполнена без нарушений, равна:

p = 0{,}36
Число операций: n = 211

Найти:

а) вероятность того, что из 211 операций не менее 97 выполнены без нарушений;
б) наиболее вероятное число правильно совершённых финансовых операций.

Решение:

Обозначим случайную величину X — количество операций, выполненных без нарушений.
Тогда X \sim \text{Bin}(n=211, p=0{,}36) — биномиальное распределение.

a) Найти P(X \geq 97)

Применим интегральную теорему Лапласа, которая позволяет приближать биномиальное распределение нормальным.

Шаг 1: Приведение к нормальному распределению

Среднее:
M = np = 211 \cdot 0{,}36 = 75{,}96

Дисперсия:
D = npq = 211 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}64 = 48{,}63

Стандартное отклонение:
\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{48{,}63} \approx 6{,}97

Шаг 2: Используем поправку на непрерывность

Считаем:
P(X \geq 97) \approx P\left(Y \geq 96{,}5\right),
где Y — нормально распределённая случайная величина N(M, \sigma)

Переходим к стандартной нормальной величине:

 Z = \frac{96{,}5 - 75{,}96}{6{,}97} \approx \frac{20{,}54}{6{,}97} \approx 2{,}95 

Теперь найдём вероятность:

 P(X \geq 97) \approx P(Z \geq 2{,}95) = 1 - \Phi(2{,}95) 

По таблице Лапласа:
\Phi(2{,}95) \approx 0{,}9984

Тогда:
 P(X \geq 97) \approx 1 - 0{,}9984 = 0{,}0016 

Ответ на пункт а):

\boxed{P(X \geq 97) \approx 0{,}0016}

б) Наиболее вероятное число правильно совершённых операций

Наиболее вероятное значение биномиального распределения — мода:

 m = \lfloor (n + 1)p \rfloor = \lfloor (211 + 1) \cdot 0{,}36 \rfloor = \lfloor 212 \cdot 0{,}36 \rfloor = \lfloor 76{,}32 \rfloor = 76 

Ответ на пункт б):

\boxed{76} — наиболее вероятное число правильно совершённых операций.