Найти вероятность того, что из 2000 кредитов не выплатят более 10 кредитов

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел предмета: Вероятностные распределения (распределение Пуассона)

Шаг 1: Определение сути задачи

Дано:

• Риск невыплаты одного кредита = 0.005
• Общее количество кредитов = 2000

Мы хотим найти вероятность того, что из 2000 кредитов не выплатят более 10 кредитов.

Шаг 2: Интерпретация задачи

В данной задаче можно приближённо использовать распределение Пуассона, поскольку событие невыплаты кредита происходит с маленькой вероятностью, а количество кредитов большое. Пуассоновское распределение удобно использовать для решения задач, где событие (в данном случае невыплата кредита) происходит редко.

Для этого приближения необходимо найти среднее количество кредитов, которые не будут выплачены. Среднее количество невыплаченных кредитов рассчитывается как произведение количества кредитов и вероятности невыплаты:

\[ \lambda = 2000 \times 0.005 = 10 \]

Таким образом, случайная величина \( X \), представляющая количество невыплат среди 2000 кредитов, имеет распределение Пуассона с параметром \( \lambda = 10 \), то есть:

\[ X \sim \text{Poisson}(10) \]

Шаг 3: Найдем вероятность того, что будет больше 10 невыплат

Теперь требуется найти вероятность того, что количество невыплаченных кредитов будет больше 10, т.е. P(X > 10).

Для того чтобы найти эту вероятность, воспользуемся следующим фактом:

\[ P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10) \]

Теперь нам нужно вычислить вероятность \( P(X \leq 10) \). Для этого используем формулу суммы вероятностей для распределения Пуассона:

\[ P(X \leq 10) = \sum_{k=0}^{10} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

Подставим \( \lambda = 10 \):

\[ P(X \leq 10) = \sum_{k=0}^{10} \frac{10^k e^{-10}}{k!} \]

Для точного вычисления этой суммы удобно воспользоваться таблицами или встроенными функциями в программных пакетах. Например, функция распределения Пуассона существует во многих математических программах, таких как WolframAlpha, Excel, Python (библиотека scipy), и т.д.

Шаг 4: Приблизительный расчет

Используем готовое значение из таблиц распределения Пуассона для \( P(X \leq 10) \). При \( \lambda = 10 \), значение \( P(X \leq 10) \) примерно равно 0.583. Значит:

\[ P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10) = 1 - 0.583 = 0.417 \]

Ответ:

Вероятность того, что среди 2000 взятых кредитов будет не выплачено более 10, составляет примерно 0.417 или 41.7%.