Найти вероятность того, что из 100 телевизоров хотя бы 50 телевизорам потребуется ремонт

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное распределение, приближение нормальным распределением

Задача 9:

Вероятность поломки телевизора в течение гарантийного срока равна 0.4. Найти вероятность того, что из 100 телевизоров хотя бы 50 телевизорам потребуется ремонт.

Шаг 1: Формализация задачи

Пусть:

• Общее количество телевизоров: n = 100
• Вероятность поломки одного телевизора: p = 0.4
• Нас интересует вероятность того, что хотя бы 50 телевизоров сломаются, то есть: P(X \geq 50), где X — количество сломанных телевизоров.

X — биномиальная случайная величина: X \sim \text{Bin}(n = 100, p = 0.4)

Шаг 2: Приближение нормальным распределением

Так как n достаточно велико, применим аппроксимацию нормальным распределением по формуле Лапласа:

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), где:

• \mu = np = 100 \cdot 0.4 = 40
• \sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.899

Шаг 3: Применение поправки на непрерывность

Ищем вероятность: P(X \geq 50) \approx P(Y \geq 49.5),
где Y \sim \mathcal{N}(40, 24)

Теперь стандартизируем:  Z = \frac{49.5 - 40}{\sqrt{24}} = \frac{9.5}{4.899} \approx 1.94 

Теперь найдём:  P(X \geq 50) \approx P(Z \geq 1.94) 

По таблице стандартного нормального распределения:  P(Z \geq 1.94) = 1 - \Phi(1.94) \approx 1 - 0.9738 = 0.0262 

✅ Ответ:

 P(\text{что хотя бы 50 телевизоров потребуют ремонт}) \approx 0.0262 

Или в процентах: примерно 2.62%

Если остались вопросы по шагам или нужна проверка по биномиальной формуле — напиши!