Найти вероятность того, что из 10 выполнявших задание студентов число успешно выполнивших равно 7

Этот тип задачи относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика" и конкретно к разделу "Биномиальное распределение".

Рассмотрим задачу: каждый студент в среднем с вероятностью 0.6 выполняет определенное задание за одну минуту. Нам нужно найти вероятность того, что из 10 выполнявших задание студентов, ровно 7 справятся с заданием. Эта задача моделируется с помощью биномиального распределения, которое используется для нахождения вероятности конкретного числа успехов в фиксированном числе независимых испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода: успех или неудача. Вероятность успеха в каждом испытании одинаковая.

Пусть \( n \) — число испытаний (здесь \( n = 10 \)), \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании (здесь \( p = 0.6 \)). Мы хотим найти вероятность того, что будет ровно \( k = 7 \) успехов.

Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим наши значения: \[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \] Далее считаем вероятность \(P(X = 7)\): \[ P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot 0.6^7 \cdot 0.4^{3} \] Подставим числовые значения: \[ 0.6^7 \approx 0.0279936 \] \[ 0.4^3 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.064 \] Теперь умножим все части: \[ P(X = 7) = 120 \cdot 0.0279936 \cdot 0.064 \] Считаем произведение: \[ 120 \cdot 0.0279936 = 3.359232 \] \[ 3.359232 \cdot 0.064 \approx 0.214592448 \]

Таким образом, вероятность того, что из 10 студентов, выполнявших задание, ровно 7 успешно справятся с ним, составляет примерно 0.2146 или 21.46%.

Ответ: вероятность \(P(X = 7)\) ≈ 0.2146.