Найти вероятность того, что информация содержится в любой из трех систем

Главная
Высшая математика
Теория вероятности
Найти вероятность того, что информация содержится в любой из трех систем

Предмет: Теория вероятностей (раздел математики)

Раздел предмета: Основы теории вероятностей, правило суммы вероятностей, законы сложения событий.

Задача:

Даны вероятности того, что информация содержится в каждой из трех информационных систем:

Вероятность для первой системы ( $$P (A_{1}) $$ ) = 0,7
Вероятность для второй системы ( $$P (A_{2}) $$ ) = 0,9
Вероятность для третьей системы ( $$P (A_{3}) $$ ) = 0,1

Необходимо найти вероятность того, что информация содержится в любой из трех систем, то есть вероятность объединения событий: $$P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) $$ .

Решение:

Для событий, которые могут пересекаться (содержащая информация может быть одновременно в двух или более системах), вероятность объединения рассчитывается с использованием формулы сложения:

$\[P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) - P (A_{1} \cap A_{2}) - P (A_{1} \cap A_{3}) - P (A_{2} \cap A_{3}) + P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) \]$

Каждая составляющая формулы означает следующее:

$$P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) $$ : суммируем вероятности каждого из событий.
$$- P (A_{1} \cap A_{2}) $$ : исключаем вероятность информации, находящейся одновременно в первой и второй системах (пересечение).
$$- P (A_{1} \cap A_{3}) $$ : исключаем вероятность информации, находящейся одновременно в первой и третьей системах.
$$- P (A_{2} \cap A_{3}) $$ : исключаем вероятность информации, находящейся одновременно во второй и третьей системах.
$$+ P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) $$ : добавляем вероятность информации, находящейся в первых трех системах, так как эта вероятность вычитается трижды (в пересечениях), и мы возвращаем её в итог.

Условия независимости:

В условии задачи ничего не сказано о наличии зависимости между событиями, поэтому будем считать их независимыми. Это означает, что вероятность пересечения двух и более событий вычисляется как произведение их вероятностей.

$\[P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2}) \]$

$\[P (A_{1} \cap A_{3}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{3}) \]$

$\[P (A_{2} \cap A_{3}) = P (A_{2}) \cdot P (A_{3}) \]$

$\[P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2}) \cdot P (A_{3}) \]$

Подстановка чисел:

Найдем пересечения двух событий:
$\[P (A_{1} \cap A_{2}) = 0, 7 \cdot 0, 9 = 0, 63 \]$

$\[P (A_{1} \cap A_{3}) = 0, 7 \cdot 0, 1 = 0, 07 \]$

$\[P (A_{2} \cap A_{3}) = 0, 9 \cdot 0, 1 = 0, 09 \]$
Найдем пересечение всех трех событий:
$\[P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = 0, 7 \cdot 0, 9 \cdot 0, 1 = 0, 063 \]$
Подставим все значения в формулу:
$\[P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) - P (A_{1} \cap A_{2}) - P (A_{1} \cap A_{3}) - P (A_{2} \cap A_{3}) + P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) \]$

$\[P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 0, 7 + 0, 9 + 0, 1 - 0, 63 - 0, 07 - 0, 09 + 0, 063 \]$
Выполним вычисления:
$\[P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 1, 7 - 0, 63 - 0, 07 - 0, 09 + 0, 063 \]$

$\[P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 1, 7 - 0, 83 + 0, 063 = 1, 7 - 0, 767 = 0, 933 \]$

Ответ:

Вероятность того, что информация содержится хотя бы в одной из трех систем, равна:

$$P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 0, 933 (или 93,3\%). $$

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!