Найти вероятность того, что информация содержится в любой из трех систем

Предмет: Теория вероятностей (раздел математики)

Раздел предмета: Основы теории вероятностей, правило суммы вероятностей, законы сложения событий.

Задача:

Даны вероятности того, что информация содержится в каждой из трех информационных систем:

• Вероятность для первой системы (\(P(A_1)\)) = 0,7
• Вероятность для второй системы (\(P(A_2)\)) = 0,9
• Вероятность для третьей системы (\(P(A_3)\)) = 0,1

Необходимо найти вероятность того, что информация содержится в любой из трех систем, то есть вероятность объединения событий: \(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\).

Решение:

Для событий, которые могут пересекаться (содержащая информация может быть одновременно в двух или более системах), вероятность объединения рассчитывается с использованием формулы сложения:

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \]

Каждая составляющая формулы означает следующее:

• \(P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)\): суммируем вероятности каждого из событий.
• \(- P(A_1 \cap A_2)\): исключаем вероятность информации, находящейся одновременно в первой и второй системах (пересечение).
• \(- P(A_1 \cap A_3)\): исключаем вероятность информации, находящейся одновременно в первой и третьей системах.
• \(- P(A_2 \cap A_3)\): исключаем вероятность информации, находящейся одновременно во второй и третьей системах.
• \(+ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\): добавляем вероятность информации, находящейся в первых трех системах, так как эта вероятность вычитается трижды (в пересечениях), и мы возвращаем её в итог.

Условия независимости:

В условии задачи ничего не сказано о наличии зависимости между событиями, поэтому будем считать их независимыми. Это означает, что вероятность пересечения двух и более событий вычисляется как произведение их вероятностей.

\[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) \]

\[ P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_3) \]

\[ P(A_2 \cap A_3) = P(A_2) \cdot P(A_3) \]

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \]

Подстановка чисел:

1. Найдем пересечения двух событий:

   \[ P(A_1 \cap A_2) = 0,7 \cdot 0,9 = 0,63 \]

   \[ P(A_1 \cap A_3) = 0,7 \cdot 0,1 = 0,07 \]

   \[ P(A_2 \cap A_3) = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09 \]

2. Найдем пересечение всех трех событий:

   \[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0,7 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,063 \]

3. Подставим все значения в формулу:

   \[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \]

   \[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0,7 + 0,9 + 0,1 - 0,63 - 0,07 - 0,09 + 0,063 \]

4. Выполним вычисления:

   \[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 1,7 - 0,63 - 0,07 - 0,09 + 0,063 \]

   \[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 1,7 - 0,83 + 0,063 = 1,7 - 0,767 = 0,933 \]

Ответ:

Вероятность того, что информация содержится хотя бы в одной из трех систем, равна:

\( P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0,933 \, \text{(или 93,3\%).} \)