Найти вероятность того, что информация содержится только в двух системах из трёх

Этот вопрос относится к предмету вероятностная теория и математическая статистика, а конкретно к разделу основ теории вероятностей.

Мы будем вычислять вероятность события \( B \), которое означает, что информация содержится только в двух системах из трёх.

Обозначим события следующим образом:

• \( A_1 \): информация содержится в первой системе (\( P(A_1) = 0.7 \)),
• \( A_2 \): информация содержится во второй системе (\( P(A_2) = 0.9 \)),
• \( A_3 \): информация содержится в третьей системе (\( P(A_3) = 0.1 \)).

В соответствии с задачей, мы ищем вероятность того, что информация содержится только в двух системах из трёх. Это должно удовлетворять следующим условиям:

1. Информация должна быть одновременно в двух из систем (например, в \( A_1 \) и \( A_2 \)),
2. Информации не должно быть в третьей системе (например, в \( A_3^c \), где \( A_3^c \) — это событие "информации нет в третьей системе").

Для полного ответа нужно разобрать три случая, когда информация содержится в двух системах из трёх:

1. Информация есть в \( A_1 \) и \( A_2 \), но её нет в \( A_3 \),
2. Информация есть в \( A_1 \) и \( A_3 \), но её нет в \( A_2 \),
3. Информация есть в \( A_2 \) и \( A_3 \), но её нет в \( A_1 \).

Обозначим вероятности таких случаев отдельно.

Случай 1: \( A_1 \cap A_2 \cap A_3^c \)

Вероятность пересечения событий рассчитывается по формуле:

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3^c) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3^c), \]

где \( P(A_3^c) = 1 - P(A_3) = 1 - 0.1 = 0.9 \).

Подставляем значения:

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3^c) = 0.7 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.567. \]

Случай 2: \( A_1 \cap A_3 \cap A_2^c \)

Аналогично, для этого случая:

\[ P(A_1 \cap A_3 \cap A_2^c) = P(A_1) \cdot P(A_3) \cdot P(A_2^c), \]

где \( P(A_2^c) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.9 = 0.1 \).

Подставляем значения:

\[ P(A_1 \cap A_3 \cap A_2^c) = 0.7 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.007. \]

Случай 3: \( A_2 \cap A_3 \cap A_1^c \)

Для этого случая:

\[ P(A_2 \cap A_3 \cap A_1^c) = P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot P(A_1^c), \]

где \( P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.7 = 0.3 \).

Подставляем значения:

\[ P(A_2 \cap A_3 \cap A_1^c) = 0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.3 = 0.027. \]

Общая вероятность

Теперь, чтобы найти вероятность того, что информация содержится только в двух системах, складываем вероятности всех трёх случаев:

\[ P(B) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3^c) + P(A_1 \cap A_3 \cap A_2^c) + P(A_2 \cap A_3 \cap A_1^c). \]

Подставляем вычисленные значения:

\[ P(B) = 0.567 + 0.007 + 0.027 = 0.601. \]

Ответ:

\[ P(B) = 0.601 \, \text{или 60,1\%}. \]

Вероятность того, что информация содержится только в двух системах, равна: