найти вероятность того, что хотя бы в одном из трёх независимых измерений ошибка не превзойдёт по абсолютной величине 4 мм

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Нормальное распределение, независимые события

Условие:

Ошибки следуют нормальному распределению $\text{(}N(0,{20}^2)\text{)}$ (математическое ожидание $\text{(}a=0\text{)}$, дисперсия $\text{(}{\sigma }^2=400\text{)}$). Необходимо найти вероятность того, что хотя бы в одном из трёх независимых измерений ошибка не превзойдёт по абсолютной величине 4 мм.

Решение:

Нормальное распределение

Вероятность попадания случайной величины $\text{(}X\text{)}$ с нормальным распределением $\text{(}N(0,{\sigma }^2)\text{)}$ в интервал $\text{(}[-A,A]\text{)}$ ищется как:

$\text{[}P(|X|\le A)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{A}{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }(-\frac{A}{\sigma })=2\mathrm{\Phi }\left(\frac{A}{\sigma }\right)-1,\text{]}$

где $\text{(}\mathrm{\Phi }(x)\text{)}$ — функция распределения стандартного нормального распределения (интеграл плотности распределения от минус бесконечности до $\text{(}x\text{)}$).

Этап 1: Вероятность одного измерения

Величина ошибки $\text{(}X\text{)}$ имеет нормальное распределение $\text{(}N(0,{\sigma }^2)\text{)}$ с $\text{(}\sigma =20\text{)}$. Подставляем $\text{(}A=4\text{)}$ и $\text{(}\sigma =20\text{)}$:

$\text{[}P(|X|\le 4)=2\mathrm{\Phi }\left(\frac{4}{20}\right)-1=2\mathrm{\Phi }(0.2)-1.\text{]}$

Согласно таблице значений функции $\text{(}\mathrm{\Phi }(x)\text{)}$:

$\text{[}\mathrm{\Phi }(0.2)\approx 0.5793.\text{]}$

Подставляем значение:

$\text{[}P(|X|\le 4)=2\cdot 0.5793-1=0.1586.\text{]}$

Этап 2: Вероятность трёх измерений

Ошибки трёх измерений независимы. Найдём вероятность того, что хотя бы одно измерение удовлетворяет условию $\text{(}|X|\le 4\text{)}$.

Вероятность того, что ни одно из трёх измерений не удовлетворяет условию:

$\text{[}{P}_0=(1-P(|X|\le 4){)}^3.\text{]}$

Подставляем:

$\text{[}{P}_0=(1-0.1586{)}^3={0.8414}^3\approx 0.5955.\text{]}$

Вероятность того, что хотя бы одно измерение удовлетворяет $\text{(}|X|\le 4\text{)}$:

$\text{[}P=1-P_0=1-0.5955=0.4045.\text{]}$

Окончательный ответ:

$\text{[}P\approx 0.4045\text{(или 40,45\%)}.\text{]}$

Вероятность того, что хотя бы одно из трёх измерений будет иметь ошибку, не превосходящую $4мм$ по абсолютной величине: