найти вероятность того, что хотя бы в одном из трёх независимых измерений ошибка не превзойдёт по абсолютной величине 4 мм

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Нормальное распределение, независимые события

Условие:

Ошибки следуют нормальному распределению \( N(0, 20^2) \) (математическое ожидание \( a=0 \), дисперсия \( \sigma^2 = 400 \)). Необходимо найти вероятность того, что хотя бы в одном из трёх независимых измерений ошибка не превзойдёт по абсолютной величине 4 мм.

Решение:

Нормальное распределение

Вероятность попадания случайной величины \( X \) с нормальным распределением \( N(0, \sigma^2) \) в интервал \([-A, A]\) ищется как:

\[ P(|X| \leq A) = \Phi\left(\frac{A}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{A}{\sigma}\right) = 2\Phi\left(\frac{A}{\sigma}\right) - 1, \]

где \( \Phi(x) \) — функция распределения стандартного нормального распределения (интеграл плотности распределения от минус бесконечности до \( x \)).

Этап 1: Вероятность одного измерения

Величина ошибки \( X \) имеет нормальное распределение \( N(0, \sigma^2) \) с \( \sigma = 20 \). Подставляем \( A = 4 \) и \( \sigma = 20 \):

\[ P(|X| \leq 4) = 2\Phi\left(\frac{4}{20}\right) - 1 = 2\Phi(0.2) - 1. \]

Согласно таблице значений функции \( \Phi(x) \):

\[ \Phi(0.2) \approx 0.5793. \]

Подставляем значение:

\[ P(|X| \leq 4) = 2 \cdot 0.5793 - 1 = 0.1586. \]

Этап 2: Вероятность трёх измерений

Ошибки трёх измерений независимы. Найдём вероятность того, что хотя бы одно измерение удовлетворяет условию \( |X| \leq 4 \).

Вероятность того, что ни одно из трёх измерений не удовлетворяет условию:

\[ P_0 = (1 - P(|X| \leq 4))^3. \]

Подставляем:

\[ P_0 = (1 - 0.1586)^3 = 0.8414^3 \approx 0.5955. \]

Вероятность того, что хотя бы одно измерение удовлетворяет \( |X| \leq 4 \):

\[ P = 1 - P_0 = 1 - 0.5955 = 0.4045. \]

Окончательный ответ:

\[ P \approx 0.4045 \, \text{(или 40,45\%)}. \]

Вероятность того, что хотя бы одно из трёх измерений будет иметь ошибку, не превосходящую 4 мм по абсолютной величине: