Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель

Определение предмета и раздела задания

Задания связаны с теорией вероятностей. Разделы следующие:

1. Задание №47: Вероятности с условными событиями и теоремой полной вероятности.
2. Задание №48: Вероятности независимых событий и формула вычисления вероятности хотя бы одного события.

Задание №47

Условие: Из первой урны переложили во вторую 2 шара, после чего из второй извлекли 2 шара. Какова вероятность, что извлечены один белый и один черный? ___ Решение:

Обозначим шары из урн:

• Первая урна содержит \(b_1\) белых и \(c_1\) черных шаров.
• Вторая урна содержит \(b_2\) белых и \(c_2\) черных шаров.

Условно будем считать, что из первой урны берем два шара и перекладываем их во вторую. Далее предполагаем каждый возможный случай.

Этапы:

1. Перенос шаров: Возможные случаи в зависимости от того, какие шары мы перенесли из первой урны во вторую:
   • Два белых,
   • Один белый и один черный,
   • Два черных.
2. Вероятности этих случаев:
   • Вероятность переносить 2 белых: \[ P(A_1) = \frac{b_1(b_1-1)}{(b_1+c_1)(b_1+c_1-1)} \]
   • Вероятность переносить 1 белый и 1 черный: \[ P(A_2) = \frac{2 b_1 c_1}{(b_1+c_1)(b_1+c_1-1)} \]
   • Вероятность переносить 2 черных: \[ P(A_3) = \frac{c_1(c_1-1)}{(b_1+c_1)(b_1+c_1-1)} \]

Извлечение двух шаров из второй урны после переноса: Предположим, изначально \(b_2\) белых и \(c_2\) черных шаров во 2-й урне. После первого этапа перейдем ко второй.

Ситуации, учитывая результаты предыдущего этапа:

• Для случая с переносом двух белых: \[ P(B) = \frac{b_2(b_2-1)}{(b_2+c_2)(b_2+c_2-1)} \]
• Для случая одного белого и одного черного: \[ P(C) = \frac{2 b_2 c_2}{(b_2+c_2)(b_2+c_2-1)} \]
• Для случая двух черных: \[ P(D) = \frac{c_2(c_2-1)}{(b_2+c_2)(b_2+c_2-1)} \]

Общая вероятность, используя полную вероятность.

___

Задание №48

Условие: Три стрелка стреляют по цели. Вероятности их попаданий в цель соответственно равны: \(0.75\), \(0.8\), и \(0.9\). Определите вероятность того, что в цель попадет хотя бы 1 стрелок. ___ Решение:

Обозначим вероятность попадания каждого стрелка как:

• \(P_1 = 0.75\) для первого стрелка
• \(P_2 = 0.8\) для второго стрелка
• \(P_3 = 0.9\) для третьего стрелка

Для того чтобы узнать вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель, нужно воспользоваться формулой:

\[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни один}) \]

Где \(P(\text{ни один})\) — вероятность того, что никто не попадет. Расчет \(P(\text{ни один})\):

\[ P(\text{ни один}) = (1-P_1) \cdot (1-P_2) \cdot (1-P_3) = 0.25 \cdot 0.2 \cdot 0.1 = 0.005 \]

Теперь находим вероятность \(P(\text{хотя бы один})\):

\[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0.005 = 0.995 \] Ответ: Вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель, составляет \(0.995\) или \(99.5\% \).

Это решение охватывает два задания, предоставив четкие шаги и рассуждения для понимания процесса вычисления вероятности.