Найти вероятность того, что герб выпадет ровно N раз

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, а именно к разделу теории вероятностей.

Описание задачи

Задача заключается в нахождении вероятности того, что при 7 бросках монеты герб выпадет ровно \(N\) раз. Здесь мы используем одно из важнейших понятий теории вероятностей — биномиальное распределение.

Необходимые понятия

1. Испытание Бернулли: Бросок монеты — это классический пример испытания Бернулли, где возможны два исхода:
   • выпадение герба (обозначим это «успехом»),
   • выпадение решки (обозначим это «неудачей»).
2. Вероятность успеха \( p \): вероятность того, что выпадет герб. В случае честной монеты \( p = 0.5 \).
3. Общее количество испытаний \( n \): здесь \( n = 7 \) (монета бросается 7 раз).
4. Количество успехов \( k \): в нашей задаче это \( N \), т.е. \( k = N \), и нам нужно найти вероятность того, что герб выпадет ровно \( N \) раз.

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что в \( n \)-забросах монеты случится ровно \( k \) успехов, задается следующей формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( C(n, k) \) — это число сочетаний, которое рассчитывается по формуле:

  \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

• \( p \) — вероятность "успеха" (выпадения герба), в нашем случае \( p = 0.5 \);
• \( n \) — общее количество бросков, \( n = 7 \);
• \( k \) — количество раз, когда должен выпасть герб (в нашей задаче \( N \));
• \( (1 - p) \) — вероятность неудачи (выпадение решки), здесь тоже \( 1 - p = 0.5 \).

Решение

Подставим данные задачи в формулу для нахождения вероятности.

1. Количество бросков монеты: \( n = 7 \).
2. Количество случаев выпадения герба: \( k = N \) (мы его оставим в общем виде).
3. Вероятность выпадения герба: \( p = 0.5 \).

Теперь подставляем данные в формулу биномиального распределения:

\[ P(X = N) = C(7, N) \cdot (0.5)^N \cdot (0.5)^{7 - N} \]

Так как \( (0.5)^N \cdot (0.5)^{7 - N} = (0.5)^7 \), мы можем упростить выражение:

\[ P(X = N) = C(7, N) \cdot (0.5)^7 \]

Теперь выразим \( C(7, N) \) (число сочетаний):

\[ C(7, N) = \frac{7!}{N!(7 - N)!} \]

Таким образом, полная формула для вероятности:

\[ P(X = N) = \frac{7!}{N!(7 - N)!} \cdot (0.5)^7 \]

Пример расчета

1. Рассчитываем \( C(7, 3) \):

   \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7 - 3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

2. Подставляем это значение в формулу:

   \[ P(X = 3) = 35 \cdot (0.5)^7 = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128} \]

Теперь давайте рассмотрим конкретный пример для \( N = 3 \) (т.е. вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза).